霍普夫-里諾定理

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數學中,霍普夫—里諾(Hopf–Rinow)定理是關於黎曼流形測地完備性的一套等價命題,以海因茨·霍普夫和他的學生維利·里諾命名。定理如下:

M是黎曼流形,則下列命題等價:

  1. 有界子集是的。
  2. 完備度量空間
  3. 是測地完備:對中任意點指數映射可定義在整個切空間

而且,以上任一條均可導出對於中任何兩點,存在連起兩點的測地線使長度最短(測地線一般是極值,不一定是最小值)。

推廣[編輯]

霍普夫—里諾定理推廣至長度度量空間如下:

若一長度度量空間是完備和局部緊,那麼中任意兩點可以用長度最短的測地線連起,的任意有界閉子集是緊的。

參考書目[編輯]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.