預估-校正方法

在數值分析中，預估-校正方法是一類求解常微分方程的算法 - 找到一個未知的函數以滿足一定微分方程。所有這類算法以如下兩個步驟進行：

預估-校正方法求解常微分方程[編輯]

對於常微分方程(ODE)的數值解，預估–校正方法通常使用一個顯式方法作為預估步和一個隱式方法作為校正步。

一個簡單的預估–校正方法(即Heun方法)可以由歐拉法 (一個顯式方法)和梯形規則 (一個隱式方法)構成。

考慮如下微分方程

y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},

並將步長大小記作 $h$ .

首先，預估步：從當前的值 $y_{i}$ 開始，由歐拉方法計算初步估算值 ${\tilde {y}}_{i+1}$ ，

{\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).

然後，校正步：使用梯形規則改善初步估算值，

y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.

這一值在下一步使用。

取決於應用校正步的頻繁程度，預估-校正方法可以有多種不同的變體。預估–評價–校正–評價(PECE)模式指的是，以上述例子為例：

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

也可以運用預估–評價–校正(PEC)模式，該模式每步只評價函數 f 一次：

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

此外，校正步可以多次重複，以希望實現一個更好的真實解的逼近值。如果校正步運行兩次即為PECECE模式：

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

PECEC模式比PECECE模式少了一次函數評價過程。

更一般地說，如果校正步運行 k 次，此方法即為P(EC)^k 或P(EC)^kE模式。如果校正步是迭代直到收斂，這可以被稱為PE(CE)^∞.

Butcher, John C., Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3 .
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. Section 17.6. Multistep, Multivalue, and Predictor-Corrector Methods. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd. New York: Cambridge University Press. 2007 [2020-02-10]. ISBN 978-0-521-88068-8. （原始內容存檔於2011-08-11）.