高斯整數

高斯整數是複數面上的整點。

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作$\mathbf {Z} [i]$，是個不可以轉成有序環的歐幾里得整環。

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$

高斯整數的範數都是非負整數，定義為

$N(zw)=N(z)N(w)$

$\mathbf {Z} [i]$單位元$1,-1,i,-i$的範數均為$1$。

高斯整環

高斯整數形成了一個唯一分解整環，其可逆元為$1,-1,i,-i$。

質元素

$\mathbf {Z} [i]$的素元素又稱為高斯質數。

高斯整數$a+bi$是素數當且僅當：

• $a,b$中有一個是零，另一個是形為$4n+3$或其相反數$-(4n+3)$的素數

或

• $a,b$均不為零，而$a^{2}+b^{2}$為素數。

高斯素數的分布

以下給出這些條件的證明。

必要條件的證明為：僅當高斯整數的範數是素數，或素數的平方時，它才是高斯素數。這是因為對於任何高斯整數$g$，$g\mid g{\overline {g}}=N(g)$。現在，$N(g)$是整數，因此根據算術基本定理，它可以分解為素數$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$的乘積。根據素數的定義，如果$g$是素數，則它可以整除$p_{i}$，對於某個$i$。另外，${\overline {g}}$可以整除${\overline {p_{i}}}=p_{i}$，因此$N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}$。於是現在只有兩種選擇：要麼$g$的範數是素數，要麼是素數的平方。

如果實際上對於某個素數$p$，有$N(g)=p^{2}$，那麼$g$和${\overline {g}}$都能整除$p^{2}$。它們都不能是可逆元，因此$g=pu$，以及${\overline {g}}=p{\overline {u}}$，其中$u$是可逆元。這就是說，要麼$a=0$，要麼$b=0$，其中$g=a+bi$。

然而，不是每一個素數$p$都是高斯素數。$2$就不是高斯素數，因為$2=(1+i)(1-i)$。高斯素數不能是$4n+1$的形式，因為根據費馬平方和定理，它們可以寫成$a^{2}+b^{2}$的形式，其中$a$和$b$是整數，且$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$。剩下的就只有形為$4n+3$的素數了。

形為$4n+3$的素數也是高斯素數。假設$g=p+0i$，其中$p=4n+3$是素數，且可以分解為$g=hk$。那麼$p^{2}=N(g)=N(h)N(k)$。如果這個分解是非平凡的，那麼$N(h)=N(k)=p$。但是，任何兩個平方數的和都不能寫成$4n+3$的形式。因此分解一定是平凡的，所以$g$是高斯素數。

類似地，$i$乘以一個形為$4n+3$的素數也是高斯素數，但$i$乘以形為$4n+1$的素數則不是。

如果$g$是範數為素數的高斯整數，那麼$g$是高斯素數。這是因為如果$g=hk$，那麼$N(g)=N(h)N(k)$。由於$N(g)$是素數，因此$N(h)$或$N(k)$一定是1，所以$h$或$k$一定是可逆元。

作為整閉包

高斯整數環是$\mathbf {Z}$在高斯有理數域中的整閉包，由實數部分和虛數部分都是有理數的複數組成。

作為歐幾里德環

在圖中很容易看到，每一個複數與最近的高斯整數的距離最多為${\frac {\sqrt {2}}{2}}$個單位。因此，$\mathbf {Z} [i]$是一個歐幾里德環，其中$v(z)=N(z)$。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如$\langle a+bi\rangle$。若$(a,b)=1$，則對應的商是：

$\mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.$

未解決的問題

高斯圓問題是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點的問題。它本身並不是關於高斯整數的，但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。

關於高斯整數，還有一些猜想和未解決的問題，例如：

實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯素數$3,7,11,19,\dots$。在複平面上，還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯素數嗎？特別地，實數部分為$1$的直線上存在無窮多個高斯素數嗎？

在高斯素數上行走，步伐小於某個給定的值，可以走到無窮遠嗎？

參見

• 艾森斯坦整數
• 費馬平方和定理
• 二次互反律

參考文獻

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 從數到環：環論的早期歷史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5