微分幾何中，黎曼幾何 （英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量 的光滑流形 ，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀，波恩哈德·黎曼 把這個概念加以推廣。
任意平滑流形容許黎曼度量 及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形 複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論 的四維研究對象。
黎曼幾何古典理論 [ 編輯 ] 伯恩哈德·黎曼 下面給出部分的黎曼幾何古典理論。
一般理論 [ 編輯 ] 高斯-博內定理 黎曼流形 上高斯曲率 的積分等於
2
π
χ
(
M
)
{\displaystyle 2\pi \chi (M)}
χ
(
M
)
{\displaystyle \chi (M)}
M 的歐拉示性數 。納什嵌入定理 黎曼幾何 的基礎理論。他們表明每個黎曼流形 可以是嵌入歐幾里得空間 R n 所有給出的定理中，都將用空間的局部行為（通常用曲率假設表述）來推出空間的整體結構的一些信息，包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。
1/4-受限 球定理 ：若M 是完備n -維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制於1和4之間，則M 同胚於n -球。Cheeger's有限定理 ：給定常數C 和D ，只有有限個（微分同胚的流形算作一個）緊n -維黎曼流形，其截面曲率
|
K
|
≤
C
{\displaystyle |K|\leq C}
≤
D
{\displaystyle \leq D}
Gromov的幾乎平坦流形
ϵ
n
>
0
{\displaystyle \epsilon _{n}>0}
n -維黎曼流形其度量的截面曲率
|
K
|
≤
ϵ
n
{\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}}
≤
1
{\displaystyle \leq 1}
零流形 .正曲率 [ 編輯 ] 靈魂定理 M 是一個不緊的完備正曲率n -維黎曼流形，則它微分同胚於R n .Gromov的貝蒂數定理 ：有一個常數C=C(n) 使得若M 是一個由正截面曲率的緊連通n -維黎曼流形，則它的貝蒂數 之和不超過C .Myers定理 基本群 有限。分裂定理 n -維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線（在任何區間上的距離都極小的測地線）則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備(n -1)-維黎曼流形的直積。Bishop's不等式 r 的球在一個有正Ricci曲率的完備n -維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。Gromov's緊緻性定理 D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量 下是仿緊 的。n -維環不存在有正數量曲率的度量。若一個緊n -維黎曼流形的單射半徑
≥
π
{\displaystyle \geq \pi }
n （n -1）。 負曲率 [ 編輯 ] 任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。 若M 是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本群 的任何可交換 子群同構於整數群Z 。 設V* 是一
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
≥
{\displaystyle \geq }
K
≤
0
{\displaystyle K\leq 0}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
v
o
l
(
V
)
=
v
o
l
(
V
∗
)
{\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})}
π
1
(
V
)
=
π
1
(
V
∗
)
{\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})}
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群 。
任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。 參考文獻 [ 編輯 ]
Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4 . (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4 . (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)
基礎概念 現象 方程 進階理論 精確解 近似解與數值模擬 科學家
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