e (數學常數)

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歐拉數
數表無理數
- - - - - -
命名
名稱納皮爾常數
識別
種類無理數
超越數
發現雅各布·伯努利
符號
位數數列編號OEISA001113
性質
定義
連分數(線性表示)[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
以此為的多項式或函數
表示方式
2.7182818284
無窮級數
二進制10.101101111110000101010001[1]
八進制2.557605213050535512465277[2]
十進制2.718281828459045235360287
十二進制2.8752360698219BA71971009B[3]
十六進制2.B7E151628AED2A6ABF715880[4]
六十進制2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

是使在點上 (藍色曲線)的導數(切線的斜率)值為1之的唯一值。對比一下,函數(虛點曲線)和(虛線曲線)和斜率為1、y-截距為1的直線(紅色)並不相切。

,作為數學常數,是自然對數函數底數,亦稱自然常數自然底數,或是歐拉數Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數,數值約是(小數點後20位,OEISA001113):

,近似值約為

歷史[編輯]

第一次提到常數,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:

上式代表把1與無窮小相加,再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以表示。1727年歐拉開始用來表示這常數;而第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母表示,但較常用,終於成為標準。

表示的原因確實不明,但可能因為指數函數exponential)一字的首字母。另一看法則稱有其他經常用途,而是第一個可用字母。

定義[編輯]

就像圓周率虛數單位i是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。

  1. 定義爲下列極限值:
  2. 定義階乘倒數無窮級數的和[5]
    其中代表階乘
  3. 定義爲唯一的正數使得
  4. 定義爲唯一的實數使得

這些定義可證明是等價的,請參見文章指數函數的特徵描述英語Characterizations of the exponential function

性質[編輯]

的極大值在.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數的重要性在於,唯獨該函數(或其常數倍,即,其中為任意常數)與自身導數相等。即:

泰勒級數

為複數時依然成立,因此根據的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:

的特例是歐拉恆等式

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

棣莫弗公式

就像以下的展開式:

無理數證明[編輯]

反證法[編輯]

證明是無理數可以用反證法。假設有理數,則可以表示成 ,其中為正整數。以的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

以下將推導出是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證是無理數。

  • 是整數,因為
  • 是小於1的正數,因為

但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出為無理數。

二項式定理[編輯]

為存在的數值,所以用二項式定理可證出:

已知位數[編輯]

的已知位數[6][7]
日期 位數 計算者
1748年 18 李昂哈德·歐拉
1853年 137 William Shanks
1871年 205 William Shanks
1884年 346 J. M. Boorman
1946年 808
1949年 2,010 約翰·馮·諾伊曼
1961年 100,265 Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇
1978年 116,000 史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克
1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel
1997年8月 20,000,000 Birger Seifert
1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel
1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon
2000年7月10日 2,147,483,648 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日 6,442,450,944 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日 12,884,901,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日 25,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日 50,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日 100,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日 200,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日 500,000,000,000 余智恆(Alexander J. Yee)
2010年7月5日 1,000,000,000,000 近藤茂、余智恆(Alexander J. Yee)
2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale

諧取[編輯]

  • Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的十億美元。Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,與圓周率有關。
  • Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
  • 著名電腦科學家高德納的軟件Metafont的版本號碼趨向(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),與之相對的有TeX的版本號是趨向於圓周率的。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]