討論:核力

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強子間計算與函數

質子

（「現象學近似」）

更精細的核力（如 OPEP/多介子交換、張量項、自旋–同位旋依賴、Argonne v18 等）都有明確解析式，但要引入自旋算符 ${\vec {\sigma }}$ 、同位旋算符 ${\vec {\tau }}$ 與張量算符 $S_{12}$ ，不便於單純畫一條標量曲線。

距離勢能函數

$V_{pp}(r)={\frac {V_{\rm {rep}}e^{\frac {-r}{a_{r}}}}{r}}-{\frac {V_{\rm {att}}e^{\frac {-r}{a_{a}}}}{r}}+{\frac {\alpha \hbar c}{r}}$

第一項為短程斥核力，第二項為中程吸引核力，第三項為質子間庫侖斥力。

$\hbar c\simeq 197.326{\text{MeV·fm}}$ ， $\alpha \simeq 1/137$

$a_{a}\sim {\frac {1}{\mu _{\pi }}}$ ， $\mu _{\pi }={\frac {m_{\pi }c}{\hbar }}\approx {\frac {135{\text{MeV}}}{197.326{\text{MeV·fm}}}}\approx 0.684{\text{fm}}^{-1}$ $\Rightarrow a_{a}\approx 1.46{\text{fm}}.$

$a_{r}$ 取更短的長度，表示「硬核」， $V_{rep},V_{att}>0$ 為強度（單位MeV·fm）。

常用參數： $a_{r}\approx 0.3{\text{fm}},a_{a}\approx 1.4-1.5{\text{fm}},V_{rep}\approx 2000{\text{MeV·fm}},V_{att}\approx 300{\text{MeV·fm}}.$

$V_{pp}(r)$ ： $r\lesssim 0.5{\text{fm}}$ 強斥， $r\sim 1-2{\text{fm}}$ 輕度吸引、遠處被庫侖項主導為斥力。

力的解析式

$F_{pp}(r)=-{\frac {dV_{pp}}{dr}}={\frac {V_{\rm {rep}}e^{-{\frac {r}{a_{r}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{r}}})-{\frac {V_{\rm {att}}e^{-{\frac {r}{a_{a}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{a}}})+{\frac {\alpha \hbar c}{r^{2}}}$

第一項為短程向外斥力，第二項為中程向內吸引，第三項是庫侖向外斥力。

更精確的寫法

解析寫法（operator 形式與坐標空間展開）

$V_{\pi }({\boldsymbol {r}})={\frac {f_{\pi NN}^{2}}{m_{\pi }^{2}}}({\boldsymbol {\tau }}_{1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}_{2})({\boldsymbol {\sigma }}_{1}\cdot \nabla )({\boldsymbol {\sigma }}_{2}\cdot \nabla ){\frac {e^{-m_{\pi }r}}{4\pi r}}$

展開為中心項 + 張量項（坐標空間）

$V_{\pi }({\boldsymbol {r}})={\frac {f_{\pi NN}^{2}}{4\pi }}({\boldsymbol {\tau }}_{1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}_{2})\left[({\boldsymbol {\sigma }}_{1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{2})W_{S}(r)+S_{12}W_{T}(r)\right]$

質子-中子

質子-中子沒有庫侖項。

$V_{pn}({\boldsymbol {r}})=V_{\rm {strong}}({\boldsymbol {r}})+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\boldsymbol {\mu }}_{p}\cdot {\boldsymbol {\mu }}+{n}-3({\boldsymbol {\mu }}_{p}\cdot {\hat {r}})({\boldsymbol {\mu }}_{n}\cdot {\hat {r}})\right]+V_{\rm {Breit}}(r)+V_{\rm {other}}^{\rm {EM}}(r)$

第二項為 $V_{\rm {mm}}$ 。

$F_{pn}(r)=-{\frac {dV_{pn}}{dr}}={\frac {V_{\rm {rep}}e^{-{\frac {r}{a_{r}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{r}}})-{\frac {V_{\rm {att}}e^{-{\frac {r}{a_{a}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{a}}})$

中子

中子沒有庫侖項。

$V_{nn}(r)=V_{\rm {strong}}(r)+V_{\rm {EM}}(r)$

$F_{NN}(r)=-{\frac {dV_{NN}}{dr}}={\frac {V_{\rm {rep}}e^{-{\frac {r}{a_{r}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{r}}})-{\frac {V_{\rm {att}}e^{-{\frac {r}{a_{a}}}}}{r^{2}}}(1+{\frac {r}{a_{a}}})$