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請問為什麼楊輝三角形的第"2的冪"行的所有數都是奇數？

亦即為什麼${\binom {2^{n}-1}{m}}$ 恆為奇數？

例如${\binom {15}{0}}$ 、${\binom {15}{1}}$ 、${\binom {15}{2}}$ 、......、${\binom {15}{15}}$ 分別是1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1，全部都是奇數。為什麼？

因为 ${\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}$ 。上下的因数项数是一样的。而对于 $2^{n}-1$ 开始的递减为一的正数列，奇数项不能被2整除，第$2n$ 项能被至少一个2整除，第$4n$ 项能被至少两个2（4）整除，依此类推。刚好和下边的数列的情况完全一样，所以所有2因子都被消掉了。

謝謝，不過還是不懂您在說什麼，能否用實例來說明？例如${\binom {31}{12}}$ 為什麼是奇數？

你把它展开写成乘积相除的形式，然后把所有项的因子2的数量标注出来，就会发现分号上下的形式完全一样，自然最后的商里就没有因子2了。