使用者:FISH UP/草稿01

部落，可測空間

定義

部落與可測空間

給定一集合 $E$。

我們說 ${\mathcal {A}}$ 是 $E$上的一個部落（或稱 $E$ 的一個 $\sigma$-代數）如果 ${\mathcal {A}}$ 是冪集 ${\mathcal {P}}(E)$ 的一個子集（即 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(E)$ ），並且滿足以下三個條件：

1. $E\in {\mathcal {A}}$
2. 如果 $A\in {\mathcal {A}}$，那麼 $A^{c}\in {\mathcal {A}}$ （$A^{c}$ 代表 ${\mathcal {A}}$ 在 $E$ 中的補集）
3. 如果 $A_{n}\in {\mathcal {A}}$ 對於所有 $n\in \mathbb {N}$，那麼 $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$

我們稱 $(E,{\mathcal {A}})$ 是一個可測空間。我們稱一個 ${\mathcal {A}}$ 的元素為 $E$ 的一個 ${\mathcal {A}}$ -可測集，在上下文清楚時可以簡稱為 $E$ 的一個可測集。

註

生成部落

給定一集合 $E$ 以及一個其冪集的子集 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(E)$。

存在一個包含 ${\mathcal {C}}$ 的最小部落，記作 $\sigma ({\mathcal {C}})$，稱作 ${\mathcal {C}}$ 生成的部落（或由 ${\mathcal {C}}$ 生成的部落）。此部落 $\sigma ({\mathcal {C}})$ 可以被定義為所有包含 ${\mathcal {C}}$ 的部落的交集。

博雷爾部落

給定一個拓樸空間$(E,{\mathcal {T}})$。

我們稱由 ${\mathcal {T}}$生成的部落為 $E$ 的博雷爾部落(或稱 $E$ 的博雷爾$\sigma$-代數)，記作 ${\mathcal {B}}(E)$。也就是說 ${\mathcal {B}}(E)=\sigma ({\mathcal {T}})$是包含 $E$ 的所有開集的最小部落。

我們稱可測空間$(E,{\mathcal {B}}(E))$為 $E$ 的博雷爾可測空間。

積部落，積可測空間

給定兩個可測空間 $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$和$(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$。

在$E_{1}\times E_{2}$ 上我們可以定義它的積部落，記作${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$：

$${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\sigma (A_{1}\times A_{2}\ ;A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\ A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2})$$

我們說 $(E_{1}\times E_{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2})$是$(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$和 $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$的積可測空間。

測度，測度空間

定義

測度與測度空間

給定一個可測空間 $(E,{\mathcal {A}})$ 。

我們說 $\mu$ 是 $(E,{\mathcal {A}})$ 的一個測度（更精確稱做正測度）如果 $\mu :{\mathcal {A}}\longrightarrow [0,+\infty ]$ 是一個滿足以下兩點的函數：

1. $\mu (\varnothing )=0$
2. 對於任意兩兩不相交可測集的序列$(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，會有 $\mu (\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$

我們稱 $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ 一個測度空間。如果 $A$ 是一個 ${\mathcal {A}}$ -可測集，我們稱 $\mu (A)$ 是 $A$ 在正測度 $\mu$ 下的測度，在上下文清楚時可以簡稱 $\mu (A)$ 是 $A$ 的測度。

註：叫做正測度是為了與符號測度區分

不同類型的測度

前推測度

性質與例子

正則性

拉東測度

可測函數

定義

可測函數

給定兩個可測空間 $(E,{\mathcal {A}})$ 和 $(F,{\mathcal {B}})$。

一個函數 $f:E\longrightarrow F$ 是$({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$-可測的 (或我們說 $f$ 是一個 $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$-可測函數) 如果： $\forall B\in {\mathcal {B}}\ \ ,\ \ f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}$ 。

在上下文明確時，我們可以簡稱 $f$ 是一個可測函數。

博雷爾可測函數

給定兩個拓樸空間 $E$ 和 $F$。

我們說一個函數 $f:E\longrightarrow F$ 是博雷爾可測（或我們說 $f$ 是一個博雷爾函數）如果 $f$ 是一個 ${\mathcal {B}}(E),{\mathcal {B}}(F)$-可測函數。

前推測度

給定一個可測函數$f:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (F,{\mathcal {B}})$。

如果 $\mu$ 是$(E,{\mathcal {A}})$的一個正測度，那麼我們可以定義一個 $(F,{\mathcal {B}})$ 上的測度 $f(\mu )$，稱作 $\mu$ 透過 $f$ 的前推測度：

$$\forall B\in {\mathcal {B}}\ \ ,\ \ f(\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))$$註：$\mu$ 的總質量會與 $f(\mu )$ 的總質量相同，但是有可能 $\mu$ 是 $\sigma$-有限但是 $f(\mu )$ 不是 $\sigma$-有限。

積分

給定一個測度空間$(E,{\mathcal {A}},\mu )$。

簡單函數的積分

一個函數$f:(X,{\mathcal {A}})\longrightarrow (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))$

積測度空間的積分/多重積分

積可測空間的性質

給定三個可測空間 $(E,{\mathcal {A}})$、$(F,{\mathcal {B}})$和$(G,{\mathcal {C}})$。我們可以定義 $(E,{\mathcal {A}})$和 $(F,{\mathcal {B}})$的積可測空間$(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$。

• 對於任意集合$C\subseteq E\times F$，

  對於所有$x\in E$我們記$C_{x}=\{y\in F\ ;\ (x,y)\in C\}$

  對於所有$y\in F$我們記$C^{y}=\{x\in E\ ;\ (x,y)\in C\}$

• 對於任意從$E\times F$到$G$的映射$f:E\times F\longrightarrow G$，

  對於所有$x\in E$我們記函數$f_{x}:F\longrightarrow G$，定義為$f_{x}(y)=f(x,y)$

  對於所有$x\in F$我們記函數$f^{y}:E\longrightarrow G$，定義為$f^{y}(x)=f(x,y)$

定理

• 如果一個集合$C\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$是積可測空間的可測集，

  那麼對於所有$x\in E$和所有$y\in F$，我們有$C_{x}\in {\mathcal {B}}$，$C^{y}\in {\mathcal {A}}$也是可測集。

• 如果一個函數$f:(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})\longrightarrow (G,{\mathcal {C}})$是可測函數，

  那麼對於所有$x\in E$和所有$y\in F$，$f_{x}:(F,{\mathcal {B}})\longrightarrow (G,{\mathcal {C}})$和$f^{y}:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (G,{\mathcal {C}})$也是可測函數

積測度的構建

給定兩個測度空間 $(E,{\mathcal {A}},\mu )$、$(F,{\mathcal {B}},\nu )$，其中$\mu$和$\nu$都是$\sigma$-有限測度。

1. 在積可測空間上$(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$存在唯一一個測度(記作$\mu \otimes \nu$)滿足：

   $\forall A\in {\mathcal {A}},\ \forall B\in {\mathcal {B}},\ \ \mu \otimes \nu (A\times B)=\mu (A)\times \nu (B)$。

   此外，這個滿足上述條件的唯一測度是$\sigma$-有限。 我們稱測度$\mu \otimes \nu$為$(E,{\mathcal {A}},\mu )$與$(F,{\mathcal {B}},\nu )$的積測度或說$\mu$與$\nu$的積測度。我們說$(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$是$(E,{\mathcal {A}},\mu )$與$(F,{\mathcal {B}},\nu )$的積測度空間。
2. 對於所有$C\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$，$\mu \otimes \nu (C)=\int _{E}\nu (C_{x})d\nu (x)=\int _{F}\nu (C^{y})d\mu (y)$

積測度空間的積分/多重積分

給定兩個測度空間 $(E,{\mathcal {A}},\mu )$、$(F,{\mathcal {B}},\nu )$，其中$\mu$和$\nu$都是$\sigma$-有限測度。

根據上述定理，我們可以考慮積測度空間$(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$，並且$\mu \otimes \nu$也是一個$\sigma$-有限測度。

福比尼-托內利定理

給定一個可測函數$f:E\times F\longrightarrow [0,\infty ]$。（ 即給定一個函數$f\in {\mathcal {M}}^{+}(E\times F)$ ）

那麼

1. $x\in E\longmapsto \int _{F}f(x,y)d\nu (y)$ 和 $y\in F\longmapsto \int _{E}f(x,y)d\mu (x)$

   分別會是一個${\mathcal {A}}$-可測函數以及${\mathcal {B}}$-可測函數

2. $\int _{E\times F}f\ d\mu \otimes \nu =\int _{E}{\bigg (}\int _{F}f(x,y)d\nu (y){\bigg )}d\mu (x)=\int _{F}{\bigg (}\int _{E}f(x,y)d\mu (x){\bigg )}d\nu (y)$

福比尼-勒貝格定理

給定一個可積函數$f\in {\mathcal {L}}^{1}(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$。（或是給定一個可積函數$f\in {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} }^{1}(E\times F,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$。）

那麼

1. $f_{x}\in {\mathcal {L}}^{1}(F,{\mathcal {B}},\nu )$ $\mu (x)$-幾乎處處

   $f^{y}\in {\mathcal {L}}^{1}(E,{\mathcal {A}},\mu )$ $\nu (y)$-幾乎處處

2. 函數 $x\in E\longmapsto \int _{F}f(x,y)d\nu (y)$ $\mu (x)$-幾乎處處良好定義，並且屬於$L^{1}(E,{\mathcal {A}},\mu )$

   函數 $y\in F\longmapsto \int _{E}f(x,y)d\mu (x)$ $\nu (y)$-幾乎處處良好定義，並且屬於$L^{1}(F,{\mathcal {B}},\nu )$

3. 我們有$\int _{E\times F}f\ d\mu \otimes \nu =\int _{E}{\bigg (}\int _{F}f(x,y)d\nu (y){\bigg )}d\mu (x)=\int _{F}{\bigg (}\int _{E}f(x,y)d\mu (x){\bigg )}d\nu (y)$

${\mathcal {L}}^{p}$空間與$L^{p}$空間

定義

給定一測度空間$(E,{\mathcal {A}},\mu )$。

• 對於任意可測函數$f:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ，對於任意實數$p\in [1,\infty [$，我們定義

  $\|f\|^{p}:={\Big (}\ \int |f|^{p}d\mu {\Big )}^{1/p}\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ （$\int |f|^{p}d\mu =\infty$的話我們定$\|f\|^{p}=\infty$）

  $\|f\|_{\infty }=\inf {\Big \{}C\in [0,\infty ]:|f|\leqslant C,\mu -$幾乎處處${\Big \}}$ （ 在此定義下， $|f|$對測度 $\mu$ 幾乎處處小於等於$\|f\|_{\infty }$）

• 對於任意實數$p\in [1,\infty [$，我們定義

  ${\mathcal {L}}^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )={\Big \{}f:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 可測 $;\ \int |f|^{p}d\mu <\infty {\Big \}}$

  ${\mathcal {L}}^{\infty }(E,{\mathcal {A}},\mu )={\Big \{}f:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 可測 $;\ \ \exists C\in \mathbb {R} _{+}:|f|\leqslant C,\mu -$幾乎處處${\Big \}}$

• 對於任意$p\in [1,\infty ]$，我們定義一個${\mathcal {L}}^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$上的等價關係 $\sim$ ：

  $f\sim g$ 當且僅當 $f=g$$,\ \ \mu -$幾乎處處

• 我們定義 ${\mathcal {L}}^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$ 在等價關係 $\sim$ 下的商空間$L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$：

  $L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu ):={\mathcal {L}}^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )/\sim$

  所以 $L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$ 的每個元素都是一個等價類，一個等價類裡面的元素對測度 $\mu$ 幾乎處處相同。在實際操作上，我們時常將一個 $L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$ 的元素視為該等價類中的任意一個元素。
• 給定$p,q\in [1,\infty ]$。如果 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，那麼我們說 $p$ 和 $q$ 倒數共軛。例如$1$和$\infty$倒數共軛，$2$和自己倒數共軛。

性質與定理

給定一測度空間$(E,{\mathcal {A}},\mu )$。

赫爾德不等式

給定 $p,q\in [1,\infty ]$ 倒數共軛。對於任意兩個可測函數$f,g:(E,{\mathcal {A}})\longrightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$，$\int |fg|d\mu \leqslant \|f\|_{p}\|g\|_{q}$。尤其我們會有對於所有$f\in L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$以及 $g\in L^{q}(E,{\mathcal {A}},\mu )$，$fg\in L^{1}(E,{\mathcal {A}},\mu )$。

琴森不等式

給定一個凸函數$\varphi :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$。如果測度$\mu$是一個機率測度，那麼對於任意$f\in L^{1}(E,{\mathcal {A}},\mu )$，$\int \varphi \circ fd\mu \geqslant \varphi {\bigg (}\int fd\mu {\bigg )}$

閔可夫斯基不等式

給定$p\in [1,\infty ]$。對於所有$f,g\in L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$，我們會有$f+g\in L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu )$，而且$\|f+g\|_{p}\leqslant \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$。

里斯定理

對於所有$p\in [1,\infty ]$，$(L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu ),\ \|.\|_{p})$是一個巴拿赫空間，也就是說它是一個完備的賦範向量空間。

$L^{2}$希爾伯特空間

對於任意$f,g\in L^{2}(E,{\mathcal {A}},\mu )$，我們定義$\langle f,g\rangle _{2}=\int fg\ d\mu$。那麼$\langle .,.\rangle _{2}$是一個$L^{2}(E,{\mathcal {A}},\mu )$空間上的內積，並且$(L^{2}(E,{\mathcal {A}},\mu ),\langle .,.\rangle _{2})$是一個實希爾伯特空間。

$L^{p}$空間的稠密性定理

給定一測度空間$(E,{\mathcal {A}},\mu )$。

給定$p\in [1,\infty [$。

• 所有可積簡單函數形成的空間在$(L^{p}(E,{\mathcal {A}},\mu ),\ \|.\|_{p})$中稠密

• 如果$(E,d)$是一個度量空間，並且$\mu$是博雷爾可測空間上$(E,{\mathcal {B}}(E))$ 的一個外部正則測度，那麼所有有界且在$L^{p}(E,{\mathcal {B}}(E),\mu )$的利普希茨函數形成的空間在$(L^{p}(E,{\mathcal {B}}(E),\mu ),\ \|.\|_{p})$中稠密
• 如果$(E,d)$是一個局部緊緻且可分的度量空間，並且$\mu$是博雷爾可測空間上$(E,{\mathcal {B}}(E))$ 的一個拉東測度，那麼所有支撐集緊緻的利普希茨函數形成的空間在$(L^{p}(E,{\mathcal {B}}(E),\mu ),\ \|.\|_{p})$中稠密

傅立葉級數

一維傅立葉級數

定義

${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {T} )$空間

三個可測空間

我們記複數平面單位圓$\mathbb {U} =\{z\in \mathbb {C} ;\ |z|=1\}$。

我們考慮

1. $\mathbb {U}$的博雷爾可測空間$(\mathbb {U} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {U} ))$。
2. $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$的博雷爾可測空間$(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ))$。(商空間$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$附上商拓樸)
3. $\mathbb {R}$的博雷爾可測空間$(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$。

三種測度

我們記$\mathbb {R}$到$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ 正規投影為 $p:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$。也就是說對於每個實數$t$，$p$會給出它的等價類$p(t)=cl(t)=\{t+2\pi \mathbb {Z} \}$，我們這裡將此值簡記為${\widehat {t}}$。

我們記複數平面單位圓的幅角投影為$\arg :\mathbb {U} \longrightarrow [0,2\pi )$。也就是說對於每個$z$，$\arg$會給出它的幅角 $\arg(z)\in [0,2\pi )$。

1. 我們記$\mathbb {R}$的勒貝格測度為$\lambda$。
2. 我們可以定義可測空間$(\mathbb {U} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {U} ))$上的一個測度，記作$\lambda _{\mathbb {U} }$：

   $\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {U} ),\ \ \lambda _{\mathbb {U} }(A):=\lambda (\arg(A))$

3. 我們也可以定義可測空間$(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ))$上的一個測度，記作$\lambda _{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$：

   $\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ),\ \ \lambda _{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }(A):=\lambda (p^{-1}(A)\cap [0,2\pi ))$

最後我們可以定義這些測度的歸一化測度，得到三個測度空間：

1. $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$，其中$m$代表$\lambda$的歸一化測度：$m:={\frac {\lambda }{2\pi }}$

$(\mathbb {U} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {U} ),m_{\mathbb {U} })$，其中$m_{\mathbb {U} }$代表$\lambda$的歸一化測度：$m_{\mathbb {U} }:={\frac {\lambda _{\mathbb {U} }}{2\pi }}$

$(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ),m_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} })$，其中$m_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$代表$\lambda$的歸一化測度：$m_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }:={\frac {\lambda _{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}{2\pi }}$ 三個空間下的函數

給定一個從$\mathbb {R}$到$\mathbb {C}$的$2\pi$週期函數$f$，我們可以定義函數函數$f_{\mathbb {U} }:\mathbb {U} \longrightarrow \mathbb {C}$與$f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }:\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {C}$如下：

$\forall t\in \mathbb {R} \ ,\ \ \ f_{\mathbb {U} }(e^{it}):=f(t)\ \ ,\ \ f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }({\widehat {t}}):=f(t)$

同樣的，給定一個從$\mathbb {U}$到$\mathbb {C}$的函數$f_{\mathbb {U} }$，我們可以定義函數$f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }:\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {C}$和$2\pi$週期函數$f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$與如下：

$\forall t\in \mathbb {R} \ ,\ \ \ f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }({\widehat {t}}):=f_{\mathbb {U} }(e^{it})\ \ ,\ \ f(t):=f_{\mathbb {U} }(e^{it})$

或是給定一個從$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$到$\mathbb {C}$的函數$f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$，我們可以定義$2\pi$週期函數$f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$與函數$f_{\mathbb {U} }:\mathbb {U} \longrightarrow \mathbb {C}$如下：

$\forall t\in \mathbb {R} \ ,\ \ \ f(t):=f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }({\widehat {t}})\ \ ,\ \ f_{\mathbb {U} }(e^{it}):=f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }({\widehat {t}})$

定理1-可測函數空間

我們記${\mathcal {M}}(\mathbb {R;2\pi } )$為所有從$\mathbb {R}$到$\mathbb {C}$的$2\pi$週期且可測的函數所形成的集合，${\mathcal {M}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$所有從$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$到$\mathbb {C}$的可測函數形成的集合，以及${\mathcal {M}}(\mathbb {U} )$所有從$\mathbb {U}$到$\mathbb {C}$的可測函數形成的集合。那麼在上述的函數轉換下，這三個空間相同。我們把它記作${\mathcal {M}}(\mathbb {T} )$。

也就是說，例如$f_{\mathbb {U} }$是一個從$\mathbb {U}$到$\mathbb {C}$的可測函數$f_{\mathbb {U} }$，那麼所定義出的$f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$也會是一個$2\pi$週期且可測的函數，或是所定義出的$f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }:\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {C}$也會是一個可測函數。

定理2-連續函數空間

我們記${\mathcal {C}}(\mathbb {R;2\pi } )$為所有從$\mathbb {R}$到$\mathbb {C}$的$2\pi$週期連續函數形成的集合，${\mathcal {C}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$所有從$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$到$\mathbb {C}$的連續函數形成的集合，以及${\mathcal {C}}(\mathbb {U} )$所有從$\mathbb {U}$到$\mathbb {C}$的連續函數形成的集合。那麼在上述的函數轉換下，這三個空間相同。我們把它記作${\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$。

定理3-${\mathcal {L}}^{p}$空間

給定$p\in [1,\infty )$。

我們記${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {R;2\pi } )={\bigg \{}f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$, $2\pi$週期且可測並且 $\int _{[0,2\pi )}|f|^{p}dm<\infty {\bigg \}}$，${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )={\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ),m_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} })$，以及${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {U} )={\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {U} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {U} ),m_{\mathbb {U} })$。那麼在上述的函數轉換下，這三個空間相同。我們把它記作${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {T} )$。

定理4-積分

給定${\mathcal {L}}^{1}(\mathbb {R;2\pi } )$或${\mathcal {L}}^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$或${\mathcal {L}}^{1}(\mathbb {U} )$的一個元素，在上述函數轉換我們有三個函數：$f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$，$f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }:\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {C}$以及$f_{\mathbb {U} }:\mathbb {U} \longrightarrow \mathbb {C}$。（或是說給定一個${\mathcal {L}}^{1}(\mathbb {T} )$的元素，我們在三種不同的空間下有三種形式表達它。）

那麼我們會有$\int _{[0,2\pi )}f\ dm=\int _{\mathbb {U} }f_{\mathbb {U} }\ dm_{\mathbb {U} }=\int _{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }\ dm_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

而$\int _{[0,2\pi )}f\ dm={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\ d\lambda ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\ dt$

在上述函數準換下，我們也有${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\ dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f_{\mathbb {U} }(e^{it})\ dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f_{\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }({\widehat {t}})\ dt$（只是形式上的定義）

外部連結

• example.com