原子堆積因子

在晶體學裏，原子堆積因子（或稱APF）是計算一個晶體的體積裏原子體積佔的比例的函數。在計算前，必須假定原子是堅硬的球體，而且有確定的表面(而不是含糊不清的電子雲)。對只有一種元素的晶體來說，原子堆積因子的數學表示方法是：

$\mathrm {APF} ={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\mathrm {crystal} }}}$

在這裏，N_atoms 是一個晶體裏原子的數量，而V_atom 是每個原子的體積，而V_crystal是晶體的體積。目前發現最密的晶體的原子堆積因子值大約是0.74。

例子

體心立方結構

體心立方晶格的原胞在立方體的每一個角上含有八個原子，在中心含有一個原子。由於每一個角上的原子的體積都由相鄰的晶胞共享，因此每一個體心立方晶胞含有兩個原子。

每一個角上的原子都與中心的原子接觸。從立方體的一個角到中心，然後再到另一個角的直線的長度為4r，其中r是原子的半徑。根據幾何，對角線的長度為a√3。因此，體心立方結構的每一條邊的長度與原子的半徑有以下的關係：

$a={\frac {4r}{\sqrt {3}}}.$

知道了球體的體積的公式後，便可以算出原子堆積因子：

$\mathrm {APF} ={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\mathrm {crystal} }}}$

$={\frac {2(4/3)\pi r^{3}}{(4r/{\sqrt {3}})^{3}}}$

$={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{8}}$

$\approx 0.68.\,\!$

對於六方密堆積結構，也可進行類似的推導。把六邊形的邊長記為a，而把六邊形的高記為c。那麼：

$a=2\times r$

$c=({\sqrt {\frac {2}{3}}})(4r).$

於是便可以算出原子堆積因子：

$\mathrm {APF} ={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\mathrm {crystal} }}}$

$={\frac {6(4/3)\pi r^{3}}{[(3{\sqrt {3}})/2](a^{2})(c)}}$

$={\frac {6(4/3)\pi r^{3}}{[(3{\sqrt {3}})/2](2r)^{2}({\sqrt {\frac {2}{3}}})(4r)}}$

$={\frac {6(4/3)\pi r^{3}}{[(3{\sqrt {3}})/2]({\sqrt {\frac {2}{3}}})(16r^{3})}}$

$={\frac {\pi }{\sqrt {18}}}$

$\approx 0.74.\,\!$

一些常見結構的原子堆積因子

利用類似的方法，所有晶體結構的原子堆積因子都可以求出。這裏列出最常見的晶體結構的原子堆積因子，精確到小數點後第二位。

• 簡單立方：0.52
• 體心立方：0.68
• 六方密堆積：0.74
• 面心立方晶格：0.74
• 鑽石結構：0.34

參考文獻

1. Schaffer, Saxena, Antolovich, Sanders, and Warner. The Science and Design of Engineering Materials Second Edition. New York: WCB/McGraw-Hill. 1999: 81–88.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Callister, W. Materials Science and Engineering Sixth Edition. San Francisco: John Wiley and Sons. 2002: 105–114.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)