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完全數

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古氏積木演示完全數6

完全數,又稱完美數完備數,是一些特殊的自然數:它所有的真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身,完全數不可能是楔形數

例如:第一個完全數是6,它有因數1、2、3、6,除去它本身6外,其餘3個數相加,1+2+3=6,恰好等於本身。第二個完全數是28,它有因數1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其餘5個數相加,1+2+4+7+14=28,也恰好等於本身。後面的數是4968128

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是過剩數

完全數的發現[編輯]

古希臘數學家歐幾里得是通過 的表達式發現前四個完全數的。

一個偶數是完美數,當且僅當它具有如下形式:,其中是質數,此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。

比如,上面的對應着的情況。我們只要找到了一個形如質數(即梅森質數),也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是的形式,其中是質數。

首十個完全數是(OEISA000396):

  1. 6(1位)
  2. 28(2位)
  3. 496(3位)
  4. 8128(4位)
  5. 33550336(8位)
  6. 8589869056(10位)
  7. 137438691328(12位)
  8. 2305843008139952128(19位)
  9. 2658455991569831744654692615953842176(37位)
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)

歷史[編輯]

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設,大部分都是錯誤的。其中的一個假設是:因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數,第 5 個完全數應該是第 5 個質數,即當 的時候,可是 並不是質數。因此 不是完全數。另外兩個錯誤假設是:

  • 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數,第五個應該是 5 位數。
  • 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上,第五個完全數 位數。

對於第二個假設,第五個完全數確實是以 結尾,但是第六個完全數 仍是以 結尾,應該說完全數只有以 結尾才對。

對完全數的研究,至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數;反之,每個偶完全數給出一個梅森質數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理。到 2018 年 1 月為止,共發現了 50 個完全數,且都是偶數。最大的已知完全數為 共有 位數[1]

性質[編輯]

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

  • 偶完全數都是以6或28結尾。
  • 十二進制中,除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾,甚至,除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。而如果存在奇完全數,她在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
  • 除6以外的偶完全數,把它的各位數字相加,直到變成個位數,那麼這個個位數一定是1[註 1]


  • 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和,從




  • 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和[註 2]



  • 除6以外的偶完全數,還可以表示成連續奇立方數之和(被加的項共有)[註 3]



  • 每個完全數的所有因數(包括本身)的倒數之和,都等於2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。)


  • 它們的二進制表達式也很有趣:(因為偶完全數形式均如






奇完全數[編輯]

未解決的數學問題奇完全數存在嗎? Question mark2.svg

用計算機已經證實:在101500以下,沒有奇完全數;至今還證明了,如果奇完全數存在,則它至少包含11個不同質數(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜測:奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限?至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[2]

奇完全數的部分條件[編輯]

  • N > 101500,2012年公佈的結果。
  • N是以下形式:
其中:
  • qp1,…,pk是不同的質數(Euler)。
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。
  • N的最小質因子必須小於(2k + 8) / 3(Grün 1952)。
  • ...≡ ≡ 1(mod 3)的關係不能滿足(McDaniel 1970)。
  • 要麼qα > 1062,要麼對於某個j > 1062(Cohen 1987)。
  • (Nielsen 2003)。
  • N的最大質因子必須大於108(Takeshi Goto和Yasuo Ohno,2006)。
  • N的第二大質因子必須大於104(Iannucci 1999,2000)。
  • N至少要有75個質因子,其中至少9個是不同的。如果3不是質因子之一,則至少要有12個不同的質因子。(Nielsen 2006;Kevin Hare 2005)。
  • 如果對於所有的i,都有 ≤ 2,那麼:
    • N的最小質因子必須大於739(Cohen 1987)。
    • α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。

Touchard定理[編輯]

這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明,1951年van der Pol用非線性偏微分方程式得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這三個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)

  • 歐拉證明了奇完全數的形式必如[3]
  • 表示的正因數之和。完全數的定義即為
    積性函數
  • 引理:若是正整數),則非完全數。

引理的證明:

使用反證法,設為完全數,且

。因為3的二次剩餘只有0,1,故非平方數,因此其正因數個數為偶數。

有正因數,則可得:

;或

因此,。故

,矛盾。

的形式只可能為

,根據歐拉的結果,,綜合兩者,得

,得。若3倍數,3和互質。

因為為積性函數,可得

,出現了矛盾。故知3倍數。代入,可得

參考[編輯]

註釋[編輯]

  1. ^ 亦即,除6以外的完全數,被9除都餘1。
  2. ^ 亦即,每個偶完全數都是三角形數
  3. ^ 這是因為

參考資料[編輯]

  1. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Mersenne Research, Inc. 2018年1月3日 [2018年1月14日]. 
  2. ^ http://oddperfect.org/pomerance.html
  3. ^ [1][永久失效連結]

參見[編輯]

外部連結[編輯]