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完全郝斯多夫空間

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拓樸學中,完全郝斯多夫空間Urysohn 空間是滿足比熟知的郝斯多夫空間更強些的分離公理的一類拓樸空間

定義[編輯]

假定 X拓樸空間。設 xyX 中的點。

Urysohn 空間T 空間是其中任何兩個獨特的點都可由閉鄰域分離的空間。

完全郝斯多夫空間函數郝斯多夫空間是其中任何兩個獨特的點都可由函數分離的空間。

命名約定[編輯]

分離公理研究因為命名約定混亂而聲名狼籍。本文使用的定義是 Willard (1970)給出的更現代的定義。Steen 和 Seebach (1970)和不同的其他作者反轉了完全郝斯多夫空間和 Urysohn 空間的定義,拓樸學課本的讀者必須確保檢查作者的定義。詳情可參見分離公理的歷史

與其他分離公理的聯繫[編輯]

容易實習證實可以由函數分離的任何兩個點也可以被閉鄰域分離。如果它們可以由閉鄰域分離則明顯的它們可以由鄰域分離。這得出了所有完全郝斯多夫空間是 Urysohn 空間而所有 Urysohn 空間是郝斯多夫空間

還可以證明所有正則郝斯多夫空間是 Urysohn 空間,而所有吉洪諾夫空間(完全正則郝斯多夫空間)是完全郝斯多夫空間。這可總結為下列蘊涵:

吉洪諾夫 (T)    正則郝斯多夫 (T3)
完全郝斯多夫    Urysohn (T)    郝斯多夫 (T2)    T1

你可以找到反例證明這些蘊涵都是不可反轉的[1]

例子[編輯]

余可數擴張拓樸是在實直線上的拓樸,由平常歐幾里德拓樸余可數拓樸的併集生成。集合是這個拓樸中的開集,若且唯若他們有形式 U \ A,這裏的 U 是有歐幾里德拓樸中的開集而 A可數的。這個空間是完全郝斯多夫和 Urysohn 的,但不是正則的(因此不是吉洪諾夫的)。

有是郝斯多夫但不是 Urysohn,是 Urysohn 但不是完全郝斯多夫或正則郝斯多夫的空間的晦澀的例子。詳情可參見 Steen 與 Seebach。

引用[編輯]

  1. ^ PlanetMathHausdorff space not completely Hausdorff的資料。
  • Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
  • Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).