定向 (向量空間)

數學中，實向量空間的一個定向（Orientation）是對哪些有序基是「正」定向以及哪些是「負」定向的一個選取。在三維歐幾里得空間中，兩個可能的基本定向分別稱為右手系與左手系。但是定向的選取與基的手征性是獨立的（儘管右手基典型地選為正定向，但它們也可規定為負定向）。

定義[編輯]

設 V 是一個實向量空間，b₁ 和 b₂ 是 V 的兩個有序基。線性代數中一個標準結論說存在惟一一個線性轉換 A : V → V，將 b₁ 變為 b₂。如果 A 的行列式為正，則稱基 b₁ 與 b₂ 有相同定向（或一致定向）；不然它們有相反的定向。有相同定向的性質在 V 的所有有序基上定義了一個等價關係。如果 V 非零，恰好存在兩個由這個等價關係決定的等價類。V 上一個定向是將其中一類置為 +1 而另一類為 -1 的一個規定。

每個有序基在一個等價類之中。故選取 V 的一個有序基決定了一個定向：選取的這個基的定向類規定為正的。例如：Rⁿ 上的標準基在 Rⁿ 上給出了一個標準定向。V 與 Rⁿ 之間選取一個線性同構可給出 V 的一個定向。

基中元素的順序是關鍵。順序不同的兩個基可差某個置換。它們可能有相同或相反的定向，取決於這個置換的符號 ±1。這是因為置換矩陣的行列式等於相應置換的符號。

零維[編輯]

上面定義的定向概念對零維向量空間只有一個定向（因為空矩陣的行列式是 1）。但是對一個點規定不同的定向可能是有用的（例如，定向一維流形的邊界）。定向的另一個與維數無關的定義如下：V 的一個定向是從 V 的有序基集合到集合 $\{\pm 1\}$ 的映射，使得在正行列式基變更下不變而在負行列式基變更下給變符號（關於同態 $GL_{n}\to \pm 1$ 等變）。零維向量空間的有序基有一個元素（空集），從而從這個集合到 $\{\pm 1\}$ 有兩個映射。

一個微妙之處在於零維向量空間是自然定向的，所以我們可以談論一個定向是正的（與典範定向相同）或負的（不同）。一個應用是將微積分基本定理理解為斯托克斯定理的一個特例。

對此的兩種看法是：

零維向量空間是一個點，存在惟一映射從一個點到一個點，所以每個零維向量空間自然與 $R^{0}$ 等價，從而是定向的。
一個向量空間的 0 次外冪是底域 $K$ ，在這裏是 $R^{1}$ ，它有一個定向（由標準基給出）。

其它觀點[編輯]

多重線性代數[編輯]

對任意 n-維實向量空間 V，我們可構造 V 的 k-次外冪，記作 Λ^kV。這是一個維數為 (n,k) 的向量空間。故向量空間 ΛⁿV （稱為最高外冪）的維數為 1。即 ΛⁿV 就是實直線。這條直線上沒有先天的選取哪個方向是正的。一個定向就是這樣一個選取。任何非零線性形式 ω on ΛⁿV 決定了 V 的一個定向，當 ω(x) > 0 時規定 x 是正定向的。為了與基本的看法聯繫起來，我們說正定向基是那些 ω 取正數的（因為 ω 是一個 n-形式，我們可在 n 個向量的有序基上取值，給出 R 中一個元素）。形式 ω 稱為一個定向形式（orientation form）。如果 {e_i} 是 V 先給定的基而 {e_i^*} 是對偶基，則給出標準定向的定向形式是 e₁^*∧e₂^*∧…∧e_n^*。

這與行列式觀點的聯繫是：一個自同構 $T\colon V\to V$ 的行列式可解釋為在最高外冪上的誘導作用。

李群論[編輯]

設 B 是 V 的所有有序基集合。則一般線性群 GL(V) 自由遞移作用在 B 上（花哨的語言，B 是一個 GL(V)-torsor）。這意味着作為一個流形 B （非典範地）同構於 GL(V)。注意到群 GL(V) 不是連通的，而有兩個連通分支，對于于轉換的行列式的正負號（除了 GL₀，這是平凡群故只有一個連通分支；這對應於一個零維向量空間的典範定向）。GL(V) 的單位分支記作 GL⁺(V)，由所有正行列式的轉換組成。GL⁺(V) 在 B 上的作用不是遞移的：有兩個軌道，分別對應於 B 的連通分支。這兩個軌道恰是上面所說的等價類。因為 B 沒有特定的元素（即一個特別的基），故沒有自然選取哪個分支是正的。將其與 GL(V) 對比，後者有一個特別的分支：單位分支。B 與 GL(V) 之間選取一個特別的同胚等價於選取一個特別的基，從而決定了一個定向。

更形式地： $\pi _{0}(GL(V))=(GL(V)/GL^{+}(V)=\{\pm 1\}$ ， $V$ 中 n-標架的斯蒂弗爾流形（Stiefel manifold（英語：Stiefel manifold））是一個 $GL(V)$ -torsor，所以 $V_{n}(V)/GL^{+}(V)$ 是 $\{\pm 1\}$ 上一個 torsor，即它是兩個點，選取其中一個便是一個定向。

流形上的定向[編輯]

我們也可以討論流形上的定向。n-維可微流形 M 上每一點 p 有一個切空間 T_pM，這是一個 n-維實向量空間。每個這樣的向量空間可規定一個定向。但是我們想知道是否可以選取定向使得它們從點到點「光滑變化」。由於某些拓撲限制，僅在某些情形才有可能。若在切空間上存在一個光滑定向，則該流形稱為可定向的。關於流形的定向，參見可定向性一文。