正弦定理

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正弦定理三角學中的一個定理。它指出:對於任意分別為的對邊,外接圓半徑,則有

證明一[編輯]

Law of sines proof.png

做一個邊長為abc的三角形,對應角分別是ABC。從角Cc邊做垂線,得到一個長度為h的垂線和兩個直角三角形。

很明顯:

因此:

同理:

證明二[編輯]

作三角形ABC的外接圓,設半徑為R,BC=a

角A為銳角時[編輯]

正弦定理1.PNG

由於∠A與∠D所對的弧都為BC,根據圓周角定理可瞭解道

由於BD為外接圓直徑,

所以

角A為直角時[編輯]

正弦定理2.PNG

因為BC = a = 2R,可以得到

所以可以證明

角A為鈍角時[編輯]

正弦定理3.PNG

線段BD是圓的直徑 根據圓內接四邊形對角互補的性質

所以

因為BD為外接圓的直徑BD = 2R。根據正弦定義

變形可得

根據以上的證明方法可以證明得到得到三角形的一條邊與其對角的正弦值的比等於外接圓的直徑,即

運用[編輯]

三面角正弦定理[編輯]

若三面角的三個面角分別為α、β、γ,它們所對的二面角分別為A、B、C,則

[1]

多邊形的正弦關係[編輯]

Centred-pentagon.PNG

外部連結[編輯]

參閱[編輯]