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笛卡爾數

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笛卡爾數(Descartes number)指的是假若將其中一個合成數因數當成質數處理,就會變成完全數的奇數。這類數字以勒內·笛卡爾為名,而這是因為笛卡爾注意到說假若把22021當成質數處理的話,那麼D = 32⋅72⋅112⋅132⋅22021 = (3⋅1001)2 ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189就會滿足完全數的條件之故,而這是因為假若把22021當成質數處理的話,其正因數的和就會滿足下式:

當然在事實上,22021是一個合成數(22021 = 192 ⋅ 61),因此198585576189並不是完全數,而198585576189是笛卡爾數的一個例子。

笛卡爾數可定義為滿足n = m ⋅ p的奇數n,在其中 m p 互質2n = σ(m) ⋅ (p + 1),而此處的p是一個被當成質數處理但實質上是合成數的「假質數」(spoof prime)。上面給出的例子是截至目前為止唯一已知的笛卡爾數的例子。

m是一個殆完全數[註 1],也就是說若σ(m) = 2m − 1 2m − 1 是一個「假質數」,那麼n = m ⋅ (2m − 1)就會是一個笛卡爾數,而這是因為σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n之故;而若2m − 1是一個質數的話,那n就會是一個奇完全數。

性質

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班柯斯(Banks)等人在2008年證明說,若n是一個無立方因子數,且n不能為所除盡,那麼n就會有超過一百萬個彼此相異的質因數。

推廣

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約翰·渥伊多(John Voight)提出一個容許負整數的推廣版笛卡爾數,他發現說在考慮負整數的狀況下,這數字會符合笛卡爾數的定義。[1]之後一群來自楊百翰大學的學者發現了更多類似的例子,[1]並加入了另一類的「假質數」,而這另一類的「假質數」允許在質因數分解時其中一個質數與另一個質數相同。[2]

參見

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註釋

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  1. ^ 截至目前為止,所有已知的殆完全數都是2的非負次冪,因此唯一已知奇數的殆完全數為20 = 1.

引文來源

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  1. ^ 1.0 1.1 Nadis, Steve. Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem. Quanta Magazine. September 10, 2020 [3 October 2021]. (原始內容存檔於2023-04-27). 
  2. ^ Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng. Odd, spoof perfect factorizations. J. Number Theory. 2020, (234): 31-47. arXiv:2006.10697可免費查閱.  arXiv version頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

參考資料

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