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等軸測投影

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一些三維圖形的等軸測投影圖
黑色尺寸是三維圖形的實際尺寸
紅色尺寸等軸測投影出的尺寸

等軸測投影(Isometric projection)是技術製圖工程製圖中,一種在二維平面呈現三維物體的方法,屬於軸測投影的一種,三條坐標軸的投影縮放比例相同,並且任意兩條坐標軸投影之間的角度都是120度。

概述[編輯]

立方體的等軸測投影圖
等軸測投影視角的取得法

等軸測投影圖可通過使各坐標軸的投影之間角度相等(120°)的視角來獲得。以立方體為例,先從一個面正視觀察,然後將立方體繞縱軸旋轉±45°,接着將立方體繞橫軸旋轉約±35.264° (準確值為 arcsin 13arctan 12)。立方體的等軸測投影圖(右圖左上)是正六邊形:所有黑線長度相等,每個面的投影面積相同。利用等軸測格紙可以無需計算而繪製等軸測投影圖。

等軸測投影的視角可以看成是從立方體的頂點看向對面頂點,則x軸為立方體右側面右下延伸對角線、y軸為左側面左下延伸對角線、z軸為頂面向上延伸對角線。從此視角投影,各坐標軸的投影彼此成120°。

數學[編輯]

根據觀察卦限的不同,有8種不同的等軸測投影視角。以第一卦限為例,三維上的點ax,y,z等軸測投影到二維上成點 bx,y,數學上可以寫成旋轉矩陣

其中 α = arcsin(13) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接着正投影xy平面:

另外7種符合等軸測投影視角,可以藉由反方向旋轉或鏡像來達成。[1]

歷史與局限[編輯]

研磨機 (1822), 等軸測投影
三國演義中的等軸測投影

等軸測投影的概念以經驗形式存在了數個世紀,然後由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。[2][3] 十九世紀中期,等軸測投影成為工程師的重要工具,不久之後等軸測投影和軸測投影進入歐美國家的建築學課程中。[4] 然而,軸測投影發源於中國,在中國藝術中起的作用,就如同透視投影之於西洋藝術,隨着視覺計算的出現,軸測投影和相關繪圖法則對電腦圖學 亦有所幫助。[5]

等軸測投影缺陷:無法看出兩球高度差
彭羅斯階梯:一座循環的階梯

如同各種平行投影方法,等軸測投影繪製的物體不會因為物體距離觀察者的遠近而改變大小。雖然有利於建築圖直接測量長度,但卻會造成視覺失真,不像透視投影這種人類視覺和攝像使用的成像方式。等軸測投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這點可被用來創造謬圖,如無限迴圈階梯

在電動遊戲和像素畫上的用途[編輯]

二十世紀八九十年代,受限於當時的微電腦計算能力,等軸測投影能提供有限的3D效果,因而被用於電動遊戲中,例如當時的機台遊戲《立體空戰英語Zaxxon》。

等軸測投影也被用於精靈圖和像素畫,用來呈現復古遊戲的風格。

參見[編輯]

注釋與參考[編輯]

  1. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek , Dan Lim. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations. ACM Computing Surveys (ACM). December 1978, 10 (4): 465–502. doi:10.1145/356744.356750. 
  2. ^ Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters. University of Michigan. ISBN 0-409-90035-4. p.243.
  3. ^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Visual messages: graphic communication for senior students.
  4. ^ J. Krikke (1996). "A Chinese perspective for cyberspace?頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)". In: International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, Summer 1996.
  5. ^ Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". In: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.

外部連結[編輯]