米勒-拉賓質數判定法

米勒-拉賓質數判定法（英語：Miller–Rabin primality test）是一種質數判定法則，利用隨機化算法判斷一個數是合數還是可能是質數。1976年，卡內基梅隆大學的計算機系教授蓋瑞·米勒首先提出了基於廣義黎曼猜想的確定性算法，由於廣義黎曼猜想並沒有被證明，於1980年，由以色列耶路撒冷希伯來大學的麥可·拉賓教授作出修改，提出了不依賴於該假設的隨機化算法。

概念

首先介紹一個相關的引理。我們發現 $1^{2}{\bmod {p}}$ 和 $(-1)^{2}{\bmod {p}}$ 總是得到 $1$，我們稱 $-1$ 和 $1$ 是 $1{\bmod {p}}$ 的「平凡平方根」，當 $p$ 是質數且 $p>2$ 時，不存在 $1{\bmod {p}}$ 的「非平凡平方根」。為了證明該引理，首先假設 $x$ 是 $1{\bmod {p}}$ 的平方根之一，於是有

$$x^{2}\equiv 1{\pmod {p}}$$

$$(x+1)(x-1)\equiv 0{\pmod {p}}$$

也就是說，質數 $p$ 能夠整除 $(x-1)(x+1)$ 或者 $x=p-1$，根據歐幾里得引理，$x-1$ 或者 $x+1$ 能夠被 $p$ 整除，即 $x\equiv 1{\pmod {p}}$ 或 $x\equiv -1{\pmod {p}}$,

即 $x$ 是 $1{\bmod {p}}$ 的平凡平方根。

現在假設 $n$ 是一個質數，且 $n>2$。於是 $n-1$ 是一個偶數，可以被表示為 $2^{s}*d$ 的形式，$s$ 和 $d$ 都是正整數且$d$是奇數。對任意在 $(Z/nZ)^{*}$ 範圍內的 $a$，必須滿足以下兩種形式的一種：

$$a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}{\text{ ① }}$$

$$a^{2^{r}d}\equiv -1{\pmod {n}}{\text{ ② }}$$

其中 $r$ 是某個滿足 $0\leq r\leq s-1$ 的整數。

因為由於 費馬小定理 ，對於一個質數 $n$ ，有

$$a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$$

又由於上面的引理，如果我們不斷對$a^{n-1}$取平方根後，我們總會得到 $1$ 和 $-1$。如果我們得到了 $-1$ ，意味着②式成立，$n$ 是一個質數。如果我們從未得到 $-1$ ，那麼通過這個過程我們已經取遍了所有 $2$ 的冪次，即①式成立。

米勒-拉賓質數測試就是基於上述原理的逆否，也就是說，如果我們能找到這樣一個 $a$，使得對任意$0\leq r\leq s-1$以下兩個式子均滿足：

$$a^{d}\not \equiv 1{\pmod {n}}$$

$$a^{2^{r}d}\not \equiv -1{\pmod {n}}$$

那麼 $n$ 就不是一個質數。這樣的 $a$ 稱為 $n$ 是合數的一個憑證（witness）。否則 $a$ 可能是一個證明 $n$ 是質數的「強偽證」（strong liar），即當$n$確實是一個合數，但是對當前選取的 $a$ 來說上述兩個式子均不滿足，這時我們認為$n$是基於$a$的大概率質數。

每個奇合數 $n$ 都有很多個對應的憑證 $a$，但是要生成這些 $a$ 並不容易。當前解決的辦法是使用概率性的測試。我們從集合 $(Z/nZ)^{*}$ 中隨機選擇非零數 $a$，然後檢測當前的 $a$ 是否是 $n$ 為合數的一個憑證。如果 $n$ 本身確實是一個合數，那麼大部分被選擇的 $a$ 都應該是 $n$ 的憑證，也即通過這個測試能檢測出 $n$ 是合數的可能性很大。然而，仍有極小概率的情況下我們找到的 $a$ 是一個「強偽證」（反而表明了 $n$ 可能是一個質數）。通過多次獨立測試不同的 $a$，我們能減少這種出錯的概率。

對於測試一個大數是否是質數，常見的做法隨機選取基數$a$，畢竟我們並不知道憑證和偽證在$[1,n-1]$這個區間如何分佈。典型的例子是 Arnault 曾經給出了一個397位的合數$n$，但是所有小於307的基數$a$都是$n$是質數的「強偽證」。不出所料，這個大合數通過了 Maple 程序的isprime() 函數（被判定為質數）。這個函數通過檢測 $a=2,3,5,7,11$ 這幾種情況來進行質性檢驗。

例子

假設我們需要檢驗 $n=221$ 是否是一個質數。首先$n-1=220=(2^{2})*55$，於是我們得到了$s=2$和$d=55$.我們隨機從$[1,n-1]$中選取$a$，假設$a=174$，於是有：

$$a^{2^{0}d}{\bmod {n}}=174^{55}{\bmod {2}}21=47\not =1,-1$$

$$a^{2^{1}d}{\bmod {n}}=174^{110}{\bmod {2}}21=220=-1$$

因為我們得到了一個 -1，所以要麼$n=221$確實是一個質數，要麼$a=174$是一個「強偽證」。我們再選取$a=137$，於是有：

$$a^{2^{0}d}{\bmod {n}}=137^{55}{\bmod {2}}21=188\not =1,-1$$

$$a^{2^{1}d}{\bmod {n}}=137^{110}{\bmod {2}}21=205\not =-1$$

即$a=137$是$n=221$為合數的一個憑證，而$a=174$是一個「強偽證」。

選取特定的整數可以在一定範圍內確定（而非單純基於概率猜測）某個整數是質數還是合數。對於小於$2^{32}$的情形，選取$2,7,61$共三個憑據可以做到這一點；對於小於$2^{64}$的情形，選取$2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022$共七個憑據可以做到這一點。

算法複雜度

這一算法可以被表示成如下偽代碼：

Input #1: n > 3, an odd integer to be tested for primality;
Input #2: k, a parameter that determines the accuracy of the test
Output: composite if n is composite, otherwise probably prime

write n − 1 as 2r·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1
WitnessLoop: repeat k times:
   pick a random integer a in the range [2, n − 2]
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then
      continue WitnessLoop
   repeat r − 1 times:
      x ← x2 mod n
      if x = n − 1 then
         continue WitnessLoop
   return composite
return probably prime

使用模冪運算，這個算法的時間複雜度是$O(k\log ^{3}n)$，$k$是我們測試的不同的 $a$ 的值。也就是說，這是一個高效的多項式時間算法。使用快速傅立葉轉換能夠將這個時間推進到 O(k log²n log log n log log log n) = Õ(k log²n).

如果我們加入最大公因數算法到上述算法中，我們有時候可以得到 $n$ 的因數，而不僅僅是證明 $n$ 是一個合數。例如，若 $n$ 是一個基於$a$ 的可能的質數，但不是一個大概率質數，則$\gcd((a^{d}{\bmod {n}})-1,n)$或$\gcd((a^{2^{r}d}{\bmod {n}})-1,n)$將得到 $n$ 的因數。如果因式分解是必要的，這一$GCDs$算法可以加入到上述的算法中，代價是增加了一些額外的運算時間。

例如，假設 $n=341$，則$n-1=340=85*4$.於是$2^{85}{\bmod {3}}41=32$，這也告訴我們 $n$ 不是一個大概率質數，即 $n$ 是一個合數。如果這個時候我們求最大公因數，我們可以得到一個$n=341$的因數：$\gcd((2^{85}{\bmod {3}}41)-1,341)=31$.這時可行的，因為$n=341$是一個基於2的偽質數，但不是一個「強偽質數」。

示例代碼

下面是根據以上定義而使用Magma語言編寫的「米勒-拉賓」檢驗程序。

function ModPotenz(a,b,n)
erg:=1;
while (b ne 0) do
       b, rest:=Quotrem(b,2);
       if (rest ne 0) then erg:=((erg*a) mod n); end if;
       a:= (a^2 mod n);
     end while;
     return erg;
end function;
;
function Miller_rabin(n)
  if (n mod 2 ne 0) then
  d:=n-1; s:=0;t:=50;
  while (d mod 2) eq 0 do
    d:=d div 2;
    s:=s+1;
  end while;
  k:=0;
  while(k lt t) do
    a:=Random(1,n-1);
    k:=k+1;
    if GCD(a,n) ne 1 then
      continue;
    end if;
    x:=ModPotenz(a,d,n);
    if(x ne 1) then
      for r in [0,s-1] do
        x:=ModPotenz(a,2^r*d,n);
        if(x eq (n-1)) then
           return "probably prime";
        end if;
      end for;
    elif (x eq 1) then
      break;
    end if;
  end while;
  end if;
  return "composite";
end function;

參見

• 盧卡斯-萊默檢驗法
• 愛拉托散尼篩法
• 試除法
• 費馬質性檢驗
• 產業等級質數