米迪定理

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米迪定理說明如果將化為b進制小數(其中p為質數,a是小於p的正整數),且小數的循環節長度是偶數[注 1],則有以下性質:

  • 若將這個分數用循環小數寫成,則

這個定理還可再推廣為廣義米迪定理:若把長度2n的循環節劃分為長度為k的個組,即,則的倍數。

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(10進制)

循環節長度是16,是偶數,可應用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,8+1=10-1……
(10進制)

循環節長度是18,是偶數,可應用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,2+7=10-1……
  • (廣義米迪定理,k=6)
  • (廣義米迪定理,k=3)

定理的證明[編輯]

米迪定理可以用群論中的結果來證明。然而,也可以用算術同餘來證明米迪定理:

p為素數,a/p是0與1之間的分數。假設在b進制中,a/p的展開式的周期為l,所以:

其中N是在b進制中的展開式為a1a2...al的整數。

因為且N為整數,所以必為p的倍數。另外,對於任何小於lnbn−1都不是p的倍數,否則在b進制中a/p的周期將小於l,這是不可能的。

現在,假設l=hk。那麼bl−1是bk − 1的倍數。設bl − 1 = m(bk − 1),因此:

bl−1是p的倍數;bk−1不是p的倍數(因為k小於l);且p是素數;因此m一定是p的倍數,且

是整數。也就是說:

現在,把a1a2...al分成h個長度為k的部分,並設它們在b進制中表示N0...Nh − 1,所以:

為了證明b進制中廣義的米迪定理,我們必須證明h個整數Ni的和是bk − 1的倍數。

由於bkbk−1除餘1,任何bk的冪被bk − 1除也餘1。因此:

這就證明了b進制中廣義的米迪定理。

為了證明原先的米迪定理,取h = 2的特殊情況。注意N0N1b進制中都由k個數字表示,所以都滿足

N0N1不能都等於0(否則a/p = 0),也不能都等於bk − 1(否則a/p = 1),因此:

由於N0 + N1bk − 1的倍數,所以有:

參考資料[編輯]

  1. ^ 有些質數的循環節長度是奇數,如3、31。

William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. 

外部連結[編輯]