緊空間

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數學中,如果歐幾里得空間 Rn子集閉集合且是有界的,那麼稱它是緊緻的。例如,在R中,單位區間[0, 1]是緊緻的,但整數集合Z不是(它不是有界的),半開區間[0, 1)也不是(它不是閉合的)。

另一個定義方式是如果對於一個度量空間的所有開覆蓋,都可以找到有限的子覆蓋,則稱此度量空間緊緻的。根據海涅-博雷爾定理,這個定義在歐幾里得空間中等價於「閉集且有界」。

注意:某些作者如布爾巴基使用術語「預緊緻」,並把「緊緻」保留給是豪斯多夫空間並且「預緊緻」的拓撲空間。一個單一的緊緻集合有時稱為緊統(compactum)。在法語的數學著作中,quasi-compact是指緊緻,compact是指緊緻且豪斯多夫,不同於英語。[1]

歷史和動機[編輯]

術語「緊緻」是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。

很久以來就認識到了像緊緻性這樣的性質對於證明很多有用的定理是必需的。最初「緊緻」意味着「序列緊緻」(所有序列都有收斂子序列)。這是在研究主要的度量空間的時候。「覆蓋緊緻」定義已經變得更加突出,因為它允許我們考慮更一般的拓撲空間,並且關於度量空間的很多已有結果可以推廣到這種設置。這種推廣在研究函數空間的時候特別有用,它們很多都不是度量空間。

研究緊緻空間的主要原因之一是因為它們以某種方式類似於有限集合:有很多結果易於對有限集合證明,其證明可以通過極小的變動就轉移到緊緻空間上。常說「緊緻性是在有限性之後最好的事情」。例如:

  • 假設X豪斯多夫空間,我們有一個X中的點x和不包含xX的有限子集A。則我們可以通過鄰域分離xA:對於每個A中的a,設U(x)和 V(a)分別是包含xa的不相交的鄰域系統。則所有U(x)的交集和所有V(a)的併集就是要求的xA的鄰域。

注意如果A無限的,則證明失敗,因為任意多個x的鄰域的交集可能不是x的鄰域。但這個證明是可以挽救的,如果A是緊緻的:我們可以簡單的選取A的覆蓋{V(a)}的有限子覆蓋。在這種方式下,我們看到在豪斯多夫空間中,任何點都可以通過不包含它的任何緊緻集合的鄰域來分離。事實上,重複這個論證證明了在豪斯多夫空間中任何兩個不相交緊緻集合可以通過領域來分離 -- 注意這正好就是我們在豪斯多夫分離公理中把「點」(就是單元素集合)替代為「緊緻集合」所得到的。涉及緊緻空間的很多論證和結果都服從這個模式。

在度量空間中,所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言,無限集可能不存在最大或最小元素(比如R中的(0, 1)),但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下,對有限集成立的證明可以擴展到緊緻集。一個簡單的例子是對以下性質的證明:定義在緊緻集上的連續實值函數是一致連續的。

定義[編輯]

歐幾里得空間中的緊緻性[編輯]

對於歐幾里得空間Rn子集,下列四個條件是等價的:

  • 所有開覆蓋都有有限子覆蓋。這是最常用的定義。
  • 所有在這個集合中的序列都有收斂子序列,且它的極限點屬於這個集合。
  • 這個集合的所有無限子集有在這個集合中的聚集點
  • 這個集合是閉合有界的。這是最容易驗證的定義,例如閉區間或閉n維球。

在其他空間中,這些條件等價與否依賴於這個空間的性質。

注意儘管緊緻性是集合自身(和它的拓撲)的性質,閉合性是相對於它所在的空間的;上面的「閉合」是在閉合於Rn中的意義上使用的。比如閉合在Qn中的集合典型的不閉合在Rn中,因此不是緊緻的。

拓撲空間中的緊緻性[編輯]

上段中的「有限子覆蓋」性質要比「閉集與有界」更加抽象,但是它在用於 Rn 的子集的子空間拓撲時有明顯的好處,省去了使用度量或周圍(ambient)空間的需要。因此緊緻性是個拓撲性質。閉區間[0,1]在某種意義上是本質上緊緻性的,不論它是如何嵌入RRn中的。

拓撲空間 X 被定義為緊緻的,如果它的所有開覆蓋都有至少一個有限的子覆蓋。也就是說:

X 是緊緻的,如果對於任意一個由 X 的開子集構成的集合族 C,使得
總存在一個 C有限子集 F,使得

其他緊緻的等價定義利用了有限交集性質,如果拓樸空間 X 滿足下面這條件則 X 為緊緻空間:如果 X 中任意一個閉子集的集族 且滿足有限交集性質,則集族 中所有元素的交集為非空集合。[2]。這個定義對偶於使用開集的定義。

某些作者要求緊緻空間還是豪斯多夫的,並把非豪斯多夫的緊緻性叫做預緊緻


度量空間中的緊緻性[編輯]

度量空間內,緊緻集可以定義為滿足以下任一條件的集合

性質[編輯]

緊緻集具有以下性質:

其他形式的緊緻性[編輯]

  • 列緊緻集:每個序列都有收歛的子序列。
  • 可數緊緻集:每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。
  • 偽緊:所有的實值連續函數都是有界的。
  • 弱可數緊緻:每個無窮子集都有極限點。

度量空間中,以上概念均等價於緊緻集。

以下概念通常弱於緊緻集:

  • 相對緊緻:如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊緻的,則稱Y是相對緊緻於X
  • 預緊緻集:若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收歛的子序列,則稱YX中的預緊緻集。
  • 局部緊緻空間:如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的局部基,則稱這個空間是局部緊緻空間。

註解[編輯]

  1. ^ François Guénard, Gilbert Lelièvre. Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie (PDF). ENS Fontenay. 1985: 24 [2014-01-02]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  2. ^ a space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection. PlanetMath. 

引用[編輯]

相關條目[編輯]