置信區間

在統計學中，一個概率樣本的置信區間（英語：Confidence interval，CI），是對產生這個樣本的母體的參數分佈（Parametric Distribution）中的某一個未知參數值，以區間形式給出的估計。相對於點估計（Point Estimation）用一個樣本統計量來估計參數值，置信區間還蘊含了估計的精確度的信息。在現代機器學習中越來越常用的置信集合（Confidence Set）概念是置信區間在多維分析的推廣。

置信區間在頻率學派中間使用，其在貝葉斯統計中的對應概念是可信區間（Credible Interval）。兩者建立在不同的概念基礎上的，貝葉斯統計將分佈的位置參數視為隨機變數，並對給定觀測到的數據之後未知參數的後驗分佈進行描述，故無論對隨機樣本還是已觀測數據，構造出來的可信區間，其可信水平都是一個合法的概率；而置信區間的置信水平，只在考慮隨機樣本時可以被理解為一個概率。

定義

對隨機樣本的定義

定義置信區間最清晰的方式是從一個隨機樣本出發。考慮一個一維隨機變數${\cal {X}}$服從分佈${\cal {F}}$，又假設$\theta$是${\cal {F}}$的參數之一。假設我們的數據採集計劃將要獨立地抽樣$n$次，得到一個隨機樣本$\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$，注意這裏所有的$X_{i}$都是隨機的，我們是在討論一個尚未被觀測的數據集。如果存在統計量(統計量定義為樣本$X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$的一個函數，且不得依賴於任何未知參數)$u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})$滿足$u(X_{1},\ldots ,X_{n})<v(X_{1},\ldots ,X_{n})$使得：

$\mathbb {P} \left(\theta \in \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)\right)=1-\alpha$

則稱$\left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)$為一個用於估計參數$\theta$的$1-\alpha$置信區間，其中的，$\alpha$稱為置信水平。

對觀測到的數據的定義

接續隨機樣本版本的定義，現在，對於隨機變數${\cal {X}}$的一個已經觀測到的樣本$\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$，注意這裏用小寫x表記的$x_{i}$都是已經觀測到的數字，沒有隨機性了，定義基於數據的$1-\alpha$置信區間為：

$\left(u(x_{1},\ldots ,x_{n}),v(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)$

注意，置信區間可以是單邊或者雙邊的，單邊的置信區間中設定$u=-\infty$或者$v=+\infty$，具體前者還是後者取決於所構造的置信區間的方向。

初學者常犯一個概念性錯誤，是將基於觀測到的數據所同樣構造的置信區間的置信水平，誤認為是它包含真實未知參數的真實值的概率。正確的理解是：置信水平只有在描述這個同樣構造置信區間的過程(或稱方法)的意義下才能被視為一個概率。一個基於已經觀測到的數據所構造出來的置信區間，其兩個端點已經不再具有隨機性，因此，類似的構造的間隔將會包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知參數的真實值的概率是0或者1，但我們不能知道是前者還是後者。

例子

例1：正態分佈，已知母體方差$\sigma ^{2}$

$1-\alpha$水平的正態置信區間為：

$\left({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$ (雙邊)

$\left(-\infty ,{\bar {x}}+z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$ (單邊)

$\left({\bar {x}}-z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},+\infty \right)$ (單邊)

以下為方便起見，只列出雙邊置信區間的例子，且區間中用"$\pm$"進行簡記：

例2：正態分佈，未知母體方差$\sigma ^{2}$

$1-\alpha$水平的雙邊正態置信區間為：

$\left({\bar {x}}\pm t_{n-1;\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)$

例3：兩個獨立正態樣本$x$和$y$，樣本大小為$m$和$n$，估計母體均值之差$\mu _{1}-\mu _{2}$，假設母體方差未知但相等：$\sigma _{1}=\sigma _{2}$(如果未知且不等就要應用Welch公式來確定t分佈的自由度)

$1-\alpha$水平的雙邊正態置信區間為：

$\left({\bar {x}}-{\bar {y}}\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}\right)$，其中$s_{p}={\sqrt {\frac {(m-1)s_{x}^{2}+(n-1)s_{y}^{2}}{m+n-2}}}$且$s_{x},s_{y}$分別表示$x$和$y$的樣本標準差。

構造法

一般來說，置信區間的構造需要先找到一個樞軸變數（Pivotal quantity，或稱Pivot），其表達式依賴於樣本以及待估計的未知參數(但不能依賴於母體的其它未知參數)，其分佈不依賴於任何未知參數。

下面以上述例2為例，說明如何利用樞軸變數構造置信區間。對於一個正態分佈的隨機樣本${X_{1},\ldots ,X_{n}}$，可以證明(此證明對初學者並不容易)如下統計量互相獨立：

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ 和 $S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$

它們的分佈是：

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$ 和 $(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$

所以根據t分佈的定義，有

$t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$

於是反解如下等式左邊括號中的不等式

$\mathbb {P} \left(-t_{n-1;\alpha /2}<t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S{\sqrt {n}}}}<t_{n-1;\alpha /2}\right)=1-\alpha$

就得到了例2中雙邊置信區間的表達式。

與參數檢驗的聯繫

有時，置信區間可以用來進行參數檢驗。例如在上面的例1中構造的雙邊$1-\alpha$水平置信區間，可以用來檢驗具有相應的顯著水平為$\alpha$的雙邊對立假設，具體地說是如下檢驗： 正態分佈母體，知道母體方差$\sigma ^{2}$，在$\alpha$顯著水平下檢驗：

$H_{0}:\mu =\mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$

檢驗方法是：當且僅當相應的$1-\alpha$水平置信區間不包含$\mu _{0}$時拒絕零假設$H_{0}$

例1中構造的雙邊$1-\alpha$水平置信區間也可以用來檢驗如下兩個顯著水平為$\alpha /2$的單邊對立假設：

$H_{0}:\mu \leq \mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu >\mu _{0}$

和

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu <\mu _{0}$

檢驗方法是完全類似的，比如對於上述第一個單邊檢驗$H_{1}:\mu >\mu _{0}$，當且僅當雙邊置信區間的左端點大於$\mu _{0}$時拒絕零假設。

參考書目

• 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
• 弗羅因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
• 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
• 齊平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
• 傑克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
• 澤西·內曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
• G.K.羅賓遜 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.