自避行走

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數學中,自避行走(簡稱:SAW,Self-Avoiding Walk)是一種格點上的隨機漫步,但是不會多次訪問同一點。所以SAW不是一種馬爾可夫鏈。SAW模型在物理學化學、生物學中有很多應用。

這是自避行走
這不是自避行走


應用[編輯]

  • 溶劑聚合物
  • 蛋白質
  • 高分子
  • 紐結理論
  • 隨機漫步
  • 保羅·弗洛里學了化學中的自避行走。[1]
  • 網絡理論[2]
  • Gompertz distribution[3]
  • ER隨機圖
  • 有數學家認為自避行走的縮放極限是一個κ = 8/3Schramm-Loewner演變[4]

介紹[編輯]

自避行走是一個分形[5][6] 例如,[7]

維度d 分形維數
d = 2 4/3
d = 3 5/3
d ≥ 4 2 4是「upper critical dimension」(上面臨界維度)

沒有已知的公式來計算給格子的SAW數。[8][9]

m × n 矩形點陣在只允許選擇減少曼哈頓距離的方向從一角往其對角行走的情況下有

個SAW。

普遍性[編輯]

主要條目:普遍性 (物理學)

是SAW數。這滿足所以次可加的以及

存在。格點六角形(hexagonal lattice)的[4]斯坦尼斯拉夫·斯米爾諾夫

有猜想說:當的時候

上面的依賴格點,但是11/32這個數是普遍的。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ P. Flory. Principles of Polymer Chemistry. Cornell University Press. 1953: 672. ISBN 9780801401343. 
  2. ^ Carlos P. Herrero. Self-avoiding walks on scale-free networks. Phys. Rev. E. 2005, 71 (3): 1728. Bibcode:2005PhRvE..71a6103H. PMID 15697654. arXiv:cond-mat/0412658可免費查閱. doi:10.1103/PhysRevE.71.016103. 
  3. ^ Tishby, I.; Biham, O.; Katzav, E. The distribution of path lengths of self avoiding walks on Erdős–Rényi networks. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2016, 49 (28): 285002. Bibcode:2016JPhA...49B5002T. arXiv:1603.06613可免費查閱. doi:10.1088/1751-8113/49/28/285002. 
  4. ^ 4.0 4.1 Duminil-Copin, Hugo; Smirnov, Stanislav. The connective constant of the honeycomb lattice equals $\sqrt{2+\sqrt2}$. arXiv:1007.0575 [math-ph]. 2011-06-27. 
  5. ^ S. Havlin, D. Ben-Avraham. New approach to self-avoiding walks as a critical phenomenon. J. Phys. A. 1982, 15 (6): L321–L328 [2020-02-10]. Bibcode:1982JPhA...15L.321H. doi:10.1088/0305-4470/15/6/013. (原始內容存檔於2020-09-22). 
  6. ^ S. Havlin, D. Ben-Avraham. Theoretical and numerical study of fractal dimensionality in self-avoiding walks. Phys. Rev. A. 1982, 26 (3): 1728–1734 [2020-02-10]. Bibcode:1982PhRvA..26.1728H. doi:10.1103/PhysRevA.26.1728. (原始內容存檔於2018-11-12). 
  7. ^ A. Bucksch, G. Turk, J.S. Weitz. The Fiber Walk: A Model of Tip-Driven Growth with Lateral Expansion. PLOS ONE. 2014, 9 (1): e85585. Bibcode:2014PLoSO...985585B. PMC 3899046可免費查閱. PMID 24465607. arXiv:1304.3521可免費查閱. doi:10.1371/journal.pone.0085585. 
  8. ^ Hayes B. How to Avoid Yourself (PDF). American Scientist. Jul–Aug 1998, 86 (4): 314 [2020-02-10]. doi:10.1511/1998.31.3301. (原始內容存檔 (PDF)於2020-09-28). 
  9. ^ Liśkiewicz M; Ogihara M; Toda S. The complexity of counting self-avoiding walks in subgraphs of two-dimensional grids and hypercubes. Theoretical Computer Science. July 2003, 304 (1–3): 129–56. doi:10.1016/S0304-3975(03)00080-X. 

閱讀[編輯]

  1. Madras, N.; Slade, G. The Self-Avoiding Walk. Birkhäuser. 1996. ISBN 978-0-8176-3891-7. 
  2. Lawler, G. F. Intersections of Random Walks. Birkhäuser. 1991. ISBN 978-0-8176-3892-4. 
  3. Madras, N.; Sokal, A. D. The pivot algorithm – A highly efficient Monte-Carlo method for the self-avoiding walk. Journal of Statistical Physics. 1988, 50 (1–2): 109–186. Bibcode:1988JSP....50..109M. doi:10.1007/bf01022990. 
  4. Fisher, M. E. Shape of a self-avoiding walk or polymer chain. Journal of Chemical Physics. 1966, 44 (2): 616–622. Bibcode:1966JChPh..44..616F. doi:10.1063/1.1726734.