蒙提霍爾問題

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蒙提霍爾問題圖解

蒙提霍爾問題,亦稱為蒙特霍問題三門問題(英文:Monty Hall problem),是一個源自博弈論數學遊戲問題,大致出自美國電視遊戲節目Let's Make a Deal英語Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙蒂·霍爾

這個遊戲的玩法是:參賽者會看見三扇關閉了的門,其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品,選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品,而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,知道門後情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率?如果嚴格按照上述的條件的話,答案是會。—換門的話,贏得汽車的概率是2/3。

這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論:雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾,亦不違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

問題與解答[編輯]

問題[編輯]

以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述,來自Craig F. Whitaker於1990年寄給《展示雜誌》(Parade Magazine)瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant)專欄的信件:

假設你正在參加一個遊戲節目,你被要求在三扇門中選擇一扇:其中一扇後面有一輛車;其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門,假設是一號門,然後知道門後面有什麼的主持人,開啟了另一扇後面有山羊的門,假設是三號門。他然後問你:「你想選擇二號門嗎?」轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎?

以上敘述是對Steve Selvin於1975年2月寄給American Statistician雜誌的敘述的改編版本。如上文所述,蒙提霍爾問題是遊戲節目環節的一個引申;蒙提·霍爾在節目中的確會開啟一扇錯誤的門,以增加刺激感,但不會容許玩者更改他們的選擇。如蒙提·霍爾寄給Selvin的信中所寫:

如果你上過我的節目的話,你會覺得遊戲很快—選定以後就沒有交換的機會。
(letsmakeadeal.com)

Selvin在隨後寄給American Statistician的信件中(1975年8月)首次使用了「蒙提霍爾問題」這個名稱。

一個實質上完全相同的問題於1959年以「三囚犯問題」(three prisoners problem)的形式出現在馬丁·加德納的《數學遊戲》專欄中。其版本的選擇過程敘述得十分明確,避免了《展示雜誌》版本裏隱含的前提條件。

這條問題的首次出現,可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的Calcul des probabilités一書中。在這本書中,這條問題被稱為「貝特朗箱子悖論」(Bertrand's Box Paradox)。

Mueser和Granberg透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件,提出了對這個問題的一種不含糊的陳述:

  • 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麼。
  • 主持人知道每扇門後面有什麼。
  • 主持人必須開啓剩下的其中一扇門,並且必須提供換門的機會。
  • 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
    • 如果參賽者挑了一扇有山羊的門,主持人必須挑另一扇有山羊的門。
    • 如果參賽者挑了一扇有汽車的門,主持人隨機(概率均勻分佈)在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
  • 參賽者會被問是否保持他的原來選擇,還是轉而選擇剩下的那一道門。

轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎?

解答[編輯]

瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在1980年代中期因躋身《健力士世界紀錄》中的智商紀錄保持人而成名(結果為185)。當時她的答覆在《大觀雜誌》刊出之後引起舉世關注。她的解答徹底違反直覺,並引起眾多數學家的質疑。但隨後的闡釋讓質疑者顏面無光。顯然,莎凡特的答案是可以:當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時,贏得汽車的機會將會加倍。

1.
Monty-CurlyPicksCar.svg
主持人挑出
任一隻羊
Pfeil.png

Pfeil.png
Monty-DoubleSwitchfromCar.svg
參賽者選擇汽車
(1/3概率)
轉換後失敗
2.
Monty-CurlyPicksGoatA.svg 主持人必須
挑出B羊

Pfeil.png
Monty-SwitchfromGoatA.svg
參賽者選擇A羊
(1/3概率)
轉換後獲勝
3.
Monty-CurlyPicksGoatB.svg 主持人必須
挑出A羊

Pfeil.png
Monty-SwitchfromGoatB.svg
參賽者選擇B羊
(1/3概率)
轉換後獲勝
參賽者最初選擇時有1/3的相同概率選擇汽車、A羊和B羊,轉換後的獲勝概率為2/3。

有三種可能的情況,全部都有相等的可能性(1/3):

  • 參賽者挑汽車,主持人挑兩頭羊的任何一頭。轉換將失敗。
  • 參賽者挑A羊,主持人挑B羊。轉換將贏得汽車。
  • 參賽者挑B羊,主持人挑A羊。轉換將贏得汽車。

@問題是:關於第一種可能性的表述可以分成兩種可能嗎?

  • 參賽者挑汽車,主持人挑A羊。轉換將失敗。
  • 參賽者挑汽車,主持人挑B羊。轉換將失敗。

在後兩種情況,參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第一種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的,所以透過轉換選擇而贏的概率是2/3。

如果沒有最初選擇,或者如果主持人隨便打開一扇門(可能主持人會直接開到汽車門,導致遊戲結束),又或者如果主持人只會在參賽者作出特定選擇某一門時才會問是否轉換選擇的話,問題都將會變得不一樣。例如,如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻,然後才叫參賽者作出選擇的話,選中的機會將會是1/2。

還可以用逆向思維的方式來理解這個選擇。無論參賽者開始的選擇如何,在被主持人問到是否更換時都選擇更換。如果參賽者先選中山羊,換之後百分之百贏;如果參賽者先選中汽車,換之後百分之百輸。而選中山羊的概率是2/3,選中汽車的概率是1/3。所以不管怎樣都換,相對最初的贏得汽車僅為1/3的機率來說,轉換選擇可以增加贏的機會。

一些更簡潔的解法:(1)你最初選羊的概率是2/3,而主持人選羊以後,你轉換後再選羊的概率就是你最初選車的概率,1/3。 (2)或者反過來看:你最初選車的概率為1/3,主持人選羊以後,你轉換後選車的概率就是你最初選羊的概率,2/3。 (3)你最初選車的概率為1/3,車在另外兩個門後的概率為2/3,主持人選羊以後,車在最後那張門後的概率還是原來兩張門後有車的概率,2/3。

三門問題是多門問題里最難的情況。如果把三門變成千門,參賽者第一次就選中的概率就是1/1000,參賽者就會清楚自己是在猜,而不是如同三門的時候1/3的概率認為自己是對的。這樣,當主持人打開剩下999扇門中的998扇時,該如何選擇,認真思考就會比三門的時候清晰很多。

Monty tree door1.svg

參見[編輯]

參考資料[編輯]

  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
  • Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
  • Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
  • Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html[失效連結] (retrieved July 5, 2005).
  • Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000 (ISBN 0-691-00979-1); pp. 192-193.
  • Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
  • Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
  • Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times July 21, 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
  • vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (Feb. 17, 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
  • Tijms, Henk (2004), Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life , Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.

外部連結[編輯]