蝴蝶效應

本文介紹的是科學中的混沌理論所稱的「蝴蝶效應」。關於與「蝴蝶效應」名稱相近或相同的條目，請見「蝴蝶效應 (消歧義)」。

二維相空間中的點吸引子

蝴蝶效應 (Butterfly effect) 是指在一個動態系統中，初始條件的微小變化，將能帶動整個系統長期且巨大的連鎖反應，是一種混沌的現象。「蝴蝶效應」在混沌學中也常出現。

由來

1961年冬天，美國氣象學家愛德華·羅倫茲在使用電腦程式計算他所設計來模擬大氣中空氣流動的數學模型，在進行第二次計算時，想要省事，直接從程式的中段開始執行，並輸入前一次模擬結果打印出來的數據，計算出來的結果卻與第一次完全不同。經檢查後發現原因是出在打印的數據是0.506，精準度只有小數後3位，但該數據正確的值為0.506127，到小數後6位。

1963年，羅倫茲發表論文「決定性的非週期流」（Deterministic Nonperiodic Flow），分析了這個效應。這篇論文後來被廣泛引用。他也在另一篇期刊文章寫道，「一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一隻海鷗扇動翅膀足以永遠改變天氣變化。」在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的闡述是「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍捲風。」

含義

「蝴蝶效應」是連鎖效應的其中一種，其意思即一件表面上看來毫無關係、非常微小的事情，可能帶來巨大的改變。此效應說明事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的改變，將會引起結果的極大差異。

圖示

勞侖次吸引子中的蝴蝶效應
時間0 ≤ t ≤ 30（放大）		z座標（放大）
這三幅圖展示出勞侖次吸引子中的兩條軌跡（藍色、黃色各一）的三維演變的三個時段， 這兩條軌跡的初始點只在x座標上相差10-5。正如藍色和黃色軌跡的z座標間的微小差所表明的，開始時，兩條軌跡似乎是重合的，但是當t > 23時，兩者的座標差就像軌跡的取值差異一樣大，小錐形體的最終位置表明兩條軌跡在t =30時不再重合。
勞侖次吸引子的Java動畫展示了振子狀態連續不斷的演變

數學定義

若t 增加時，任意接近的點分離，則具有向量場（演變映射）$f^{t}$的動態系統表現出初始條件的敏感依賴性。若M是映射$f^{t}$的狀態空間，那麼當滿足以下條件時，$f^{t}$會表現出初始條件的敏感依賴性：

• 存在δ>0，使得每一個點都滿足x∈M；
• 任意包含x的鄰域N，都存在來自這一鄰域N的一點y；
• 存在時間τ，使得距離 $d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\delta \,.$

定義不要求來自一個鄰域的全部點都與基點x分離。

參見

• 非線性物理學
• 數值穩定性
• 敏感度分析
• 多米諾骨牌效應

延伸閱讀

• James Gleick, Chaos: Making a New Science, New York: Viking, 1987. 368 pp.
• Devaney, Robert L. Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Westview Press. 2003. ISBN 0670811785. 
• Hilborn, Robert C. Sea gulls, butterflies, and grasshoppers: A brief history of the butterfly effect in nonlinear dynamics. American Journal of Physics. 2004, 72 (4): 425–427. Bibcode:2004AmJPh..72..425H. doi:10.1119/1.1636492. 

外部連結

• The meaning of the butterfly: Why pop culture loves the 'butterfly effect,' and gets it totally wrong, Peter Dizikes, Boston Globe, June 8, 2008
• New England Complex Systems Institute - Concepts: Butterfly Effect
• The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
• ChaosBook.org. Advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
• 埃里克·韋斯坦因. Butterfly Effect. MathWorld.