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超奇異質數

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月光理論的數學分支中,超奇異質數(Supersingular prime)是怪獸群(Monster group,最大的簡單散在群)「M」階數質因數 。超奇異質數只有15個:包括前11個質數(235711131719232931)、41475971。(OEIS數列A002267

不是超奇異質數的質數有3743536167,以及任何大於或等於73的質數。所有超奇異質數都是陳質數,但是不是不是超奇異質數的37、53和67也是陳質數,並且有無數個大於73的陳質數。

超奇異質數與以下所述超奇異橢圓曲線英語supersingular elliptic curve的概念有關。對於質數「 p」,以下等價:

  1. 模曲線 X0+(p) = X0(p)/wp,其中 wpFricke involution英語Fricke involutionX0(p),其特徵為零。  
  2. 可以在素子場(prime subfield)上定義特徵「p」中的所有超奇異橢圓曲線 Fp.
  3. 怪物組的階數可被「p」整除。

上述等價敘述是由安德魯·奧格英語Andrew Ogg提出。奧格在1975年證明滿足第一個條件的質數,恰好是上面列出的15個超奇數質數,此後不久就得知(當時是猜想的)零星簡單群的存在,這些群正好把這些質數作為質數除數。這種奇怪的巧合即為怪獸月光理論的基礎。

三個非超奇異質數以另外兩個簡單散在群的階數出現:37和67是里昂群階數的因數,以及37和43是揚科群J4英語Janko group J4階數的因數。可以立即得出結論,這兩個不是魔群組的子商(它們是六個低群英語pariah groups中的兩個)。其他的散在群(包括其他四個低群,若提次群英語Tits group可計入散在群的話,也包括提次群)也具有僅超奇質數的階。 實際上,除了小怪獸群英語Baby monster group以外,它們都只能被小於或等於31的質數整除的階,不過只有怪獸群的因數包括所有的超奇異質數。超奇異質數47是小怪獸群階數的因數,而其他三個超奇異質數(415971)只是怪獸群的因數,不是其他散在群的因數。

參考資料

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