芝諾悖論

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芝諾悖論古希臘哲學家(Philosopher/Philosophen/философ/φιλόσοφος)[1] [2] [3] [4]芝諾(Zeno of Elea)(盛年約在公元前464-前461年)提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說。這些悖論是芝諾反對存在運動的論證其中最著名的兩個是:「阿基里斯追烏龜」和「飛矢不動」。這些方法現在可以用微積分(無限)的概念解釋。

兩分法悖論[編輯]

這裏的「運動」不是距離的概念,而是速度的概念。從A點到B點的運動不僅僅涉及到距離,並且涉及到時間。從A到B的運動如果發生在無限長的時間內,那麼悖論就為真,因為此時速度為0。

速度這個概念雖然可以被表示為距離除以時間,但是速度是一個自然界的固有概念,並不依賴於時間和距離。所以莊子的萬世不竭反倒成為一個真實的敘述,而不是悖論。

阿基里斯悖論[編輯]

常見的敘述為追着烏龜的阿基里斯,本悖論因此得其名。

如柏拉圖描述,芝諾說這樣的悖論,是興之所至的小玩笑。首先,巴門尼德編出這個悖論,用來嘲笑「數學派」所代表的畢達哥拉斯的「1>0.999...,1-0.999...>0」思想。然後,他又用這個悖論,嘲笑他的學生芝諾的「1=0.999...,但1-0.999...>0」思想。最後,芝諾用這個悖論,反過來嘲笑巴門尼德的「1-0.999...=0,或1-0.999...>0」思想。

悖論的解決[編輯]

理論說得頭頭是道,但為何實際卻不是如此?原因見下。

不妨令阿基里斯步行的速度為每秒10m,烏龜爬行的速度為每秒0.1m, 並且在比賽之前,阿基里斯讓烏龜先爬999m,在這種條件下,阿基里斯追趕烏龜所用的時間為:

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

這些數字,按其先後排列,可以構成一個無限序列:

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
 
 其和為:S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其實阿基里斯只要跑101秒,即可超越烏龜。
換個角度說,阿基里斯之所以追不上烏龜,原因在題目的背面--小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的距離。
因此會得到無限的時間序列。

求極限值[編輯]

追烏龜亦涉及到極限是否存在的問題。譬如說,阿基里斯的速度改為10m/s,烏龜的速度是1m/s,烏龜原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後,總共所花的時間應表示為

其一,關於極限這個無限過程的意義,涉及到實無限英語Actual infinity潛無限英語Actual infinity(potential infinity)的討論。潛無限的性質是無限過程無法完成,故上述級數雖然能無限逼近1,但不能說是等於1──故沒有一個時間點(若有,必須是1)能代表烏龜被追上的時間。在潛無限的框架下,可以假設空間無法無限分割,如此一來此悖論就不存在了。但實無限的理論是,無限過程可以完成,即逼近的過程與其極限等價,故烏龜可以追上。現在的實數,極限,微積分都建立在實無限上。對潛無限來說,實數,極限等都不成立,只能無限逼近。

其二,關於要如何找到該無限過程的極限,歐拉曾提出「」之證明如下:

兩式相減可得:

歐拉一生中曾多次在其理論中進行這類極限的運算,然而他未能解釋極限的存在性與加減乘除等運算,可謂有着邏輯上的漏洞。而近代數學的極限、實數等概念正能填其邏輯漏洞。

飛矢不動悖論[編輯]

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能,所以箭必須是運動狀態。

這個悖論的問題在於,「飛行」的運動,是依賴於兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內,這支箭是否移動。

另外,中國古代的名家惠施也提出過,「飛鳥之景,未嘗動也」的類似說法。

遊行隊伍悖論[編輯]

首先假設在操場上,在一瞬間(一個最小時間單位)裏,相對於觀眾席A,列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。

 AAAA 觀眾席A
 BBBB 隊列B・・・向右移動(→)
 CCCC 隊列C・・・向左移動(←)

B、C兩個列隊開始移動,如下圖所示相對於觀眾席A,B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。

 AAAA
  BBBB
CCCC

而此時,對B而言C移動了兩個距離單位。也就是,隊列既可以在一瞬間(一個最小時間單位)裏移動一個距離單位,也可以在半個最小時間單位裏移動一個距離單位,這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

(四個悖論的敘述引自莫里斯·克萊因《古今數學思想》中譯本,Bill Smith對第四個悖論的原文作了修改以說得更清楚些。)

芝諾現象[編輯]

在一個跟時間有關的系統中,如果牽涉到有限時間內,無限多次的操作,我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法,是直接假設停止的時間點,只考慮反彈,不去考慮無窮多次,以計算無窮多次反彈之後的結果。

相關條目[編輯]