# 1 − 2 + 3 − 4 + …

(重新導向自 1-2+3-4+…)

1 − 2 + 3 − 4 + …的前一萬五千相加結果示意圖

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}$

${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}$

## 發散性

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

## 求和的啟發

### 穩定性與線性

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}$

1. 線性：設AΣ為一種級數求和法。如果對於AΣ可定義其上的那些序列，AΣ是個線性泛函的話，則簡單地稱AΣ是線性的。也就是說，對於序列r, s和純量k，有AΣ(k r+s)=k AΣ(r)+AΣ(s)。
2. 穩定性：如果a是一個初項為a0的序列，設a*a去掉初項後的序列，即對於一切n有a*n=an+1，那麼AΣ(a)有定義若且唯若AΣ(a*)有定義。而且，AΣ(a)=a0 + AΣ(a*)。

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}$

### 柯西乘積

1891年，恩納斯托·切薩羅在他的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道：

${\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }$

1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的雙重柯西乘積表示

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }$

## 特殊方法

### 切薩羅與赫爾德

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

1, 0,23, 0,35, 0,47, ….

### 阿貝耳求和

1−2x+3x2+…的一些部分和（綠色、藍色和黑色曲線）；1/(1 + x)2（近中間的紫色曲線） ；以及在x趨近於1時的極限（以點標示）

${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}$

### 歐拉與波萊爾

1214的歐拉求和

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}$

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

### 尺度分離

• 如果φ(x)是一個函數，其一、二階導數在(0, ∞)上是連續且可積的，有φ(0) = 1 ，並且φ(x)與xφ(x)在+∞時的極限均為0，則：[14]
${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}$

## 廣義化

1755年的《Institutiones》上，歐拉對相似的級數求和

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘積為1 − 3 + 6 − 10 + …，為三角形數的交錯級數；其阿貝耳與歐拉和為18[15]1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘積為1 − 4 + 10 − 20 + …，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為116

${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}$

${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}$

「發散級數純粹是魔鬼的工作，膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們，可以從中獲得想要的東西；同時也是它們，製造了如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎：
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.

## 註釋

1. ^ 「廣義和」是指利用一些特殊的方式，計算發散級數的「和」，由於發散級數不會有一般定義下的和，因此稱為廣義和。
2. ^ 假定有這樣的極限值x，則總可能找到某個項，使得在其之後的所有項都在區間[x-1, x+1]之外，從而得出矛盾。

## 參考來源

1. ^ Hardy p.8
2. ^ Beals p.23
3. ^ Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …的計算提出了此推導過程。
4. ^ "One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …and asserts that both the sides are equal to${\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}}$.", Ferraro, p.130.
5. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
6. B.A.卓里奇. 《數學分析》下冊. 高等教育出版社. 2006: p346. ISBN 9787040202571.
7. ^ Hardy, p.9. 要了解詳細的計算過程，參看 Weidlich, pp.17–18.
8. ^ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批評了Tucciarone對赫爾德他自己對一般結論的看法的解釋(p.7)，不過在赫爾德對-1 + 2 − 3 + 4 − …的處理方式上，兩位作者的解釋是相似的。
9. ^ Ferraro, pp.123–128.
10. ^ Euler et al, p.2. 雖然這篇文章寫於1749年，但直到1768年才發表。
11. ^ Euler et al, pp.3, 25.
12. ^ 例如，Lavine (p.23)提倡多項式長除，但並沒有真的列出計算步驟；Vretblad (p.231)計算了柯西乘積。歐拉的建議是含糊的；參看Euler et al, pp.3, 26。 約翰·貝茲甚至提出一種包括將點集量子諧振子相乘的範疇理論法。Baez, John C. 歐拉對 1 + 2 + 3 + … = 1/12 的證明 (PDF)。 math.ucr.edu （2003年12月19日）。 2007年3月11日檢索。
13. ^ Weidlich p. 59
14. ^ Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
15. ^ Kline, p.313.
16. ^ Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的這一點有誤
17. ^ Grattan-Guinness, p.80. 參看 Markushevich, p.48, 另一個法語轉譯版本；保留了原有的語調。
18. ^ Ferraro, pp.120–128.
19. ^ Euler et al, pp.20–25.

### 書目

• Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. 2006 [2007-03-22]. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. June 1999, 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCCN 91-75377.
• Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307–314.
• Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994. ISBN 0674920961.
• Markushevich, A.I. Series: fundamental concepts with historical exposition English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. Hindustan Pub. Corp. 1967. LCCN 68-17528.
• Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996. ISBN 0-8176-3924-1.
• Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. January 1973, 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer. 2003. ISBN 0387008365.
• Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. June 1950. OCLC 38624384.