功能
與域名
沒有反函數。如果我們限制
到非負實數,那麼它有一個反函數,稱為平方根
在數學中,映射的限制
是一個新的映射,記作
或者
,它是通過為原來的映射
選擇一個更小的定義域
來得到的。反過來,也稱映射
是映射
的擴張。
設
是一個集合
到集合
的映射。如果
是
的子集,那麼稱滿足
的映射[1]
是映射
在
上的限制。不正式地說,
是和
相同的映射,但只定義在
上。
如果將映射
看作一種在笛卡爾積
上的關係
,然後
在
上的限制可以用它的圖像來表示:
![{\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cd9887280241c0fa3b0d40de853a71f5564fbf)
其中
表示圖像
中的有序對。
映射
稱為另一映射的
的擴張,若且唯若
。也就是說同時滿足下面兩個條件:
- 屬於
之定義域的
必然也在
的定義域中,即
;
和
在它們共同的定義域上的行為相同,即
。
數學上經常需要將一個具有指定性質的映射的定義域擴大,並要求擴張後的結果仍具有該性質。如尋找一個線性映射
的擴張映射
,且
仍是線性的,這時說
是
的一個線性擴張,或者說;尋找一個連續映射
的擴張映射
,且
仍連續,則稱為進行了連續擴張;諸如此類。
- 非單射函數
在域
上的限制是
,而這是一個單射。
- 將Γ函數限制在正整數集上,並將變量平移
,就得到階乘函數:
。
- 映射
在其整個定義域
上的限制即是原函數,即
。
- 對一個映射在限制兩次與限制一次效果相同,只要最終的定義域一樣。也就是說,若
,則
。
- 集合
上的恆等映射在集合
上的限制即是
到
的包含映射。[2]
- 連續函數的限制是連續的。[3] [4]
若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射
非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:
因為
,故非單射。但若將定義域限制到
時該映射為單射,此時有反函數
(若限制定義域至
,輸出
的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多値函數,則無需限制原函數的定義域。
點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。
- 設拓撲空間
的子集
同時為開或閉,且滿足
,設
為拓撲空間。若映射
到
及
的限制都連續,則
也是連續的。
基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。
層將函數的限制推廣到其他物件的限制。
層論中,拓撲空間
的每個開集
,有另一個範疇中的物件
與之對應,其中要求
滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若
,則有態射
,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:
- 對
的每個開集
,限制態射
為
上的恆等態射。
- 若有三個開集
,則複合
。
- (局部性)若
為某個開集
的開覆蓋,且
滿足:對所有
,
,則
。
- (黏合) 若
為某個開集
的開覆蓋,且對每個
,給定截面
,使得對任意兩個
,都有
在定義域重疊部分重合(即
),則存在截面
使得對所有
,
。
所謂拓撲空間
上的層,就是該些物件
和態射
組成的整體
。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層。
- ^
Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
- ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
- ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.