Z轉換

關於統計學中的標準Z-分數，請參見「標準分數」。關於統計學中的Fisher Z-轉換，請參見「費雪轉換」。

在數學和訊號處理中，Z轉換（英語：Z-transform）把一連串離散的實數或複數訊號，從時域轉為復頻域表示。

可以把它認為是拉普拉斯轉換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性

歷史

現在所知的Z轉換的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。 後來由1952年哥倫比亞大學的取樣控制組的雷加基尼和查德稱其為「Z轉換」。

E. I. Jury後來發展並推廣了改進或高級Z轉換。

Z轉換中包含的思想在數學裏稱作母函數方法，該方法可以追溯到1730年的時候，棣莫弗與概率論結合將其引入。 從數學的角度，當把數碼序列視為解析函數的（洛朗）展開時，Z轉換也可以看成是洛朗級數。

定義

像很多積分轉換一樣，Z轉換可以有單邊和雙邊定義。

雙邊Z轉換

雙邊Z轉換把離散時域訊號 x[n] 轉為形式冪級數 X(Z)。

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}$

當中 $n$$n$ 是整數，$z$$z$ 是複數變量，其表示方式為

$z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$$z=Ae^{{j\phi }}=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$

其中 A 為 z 的模，j 為虛數單位，而 ɸ 為幅角（也叫相位角），用弧度表示。

單邊Z轉換

另外，只對 n ≥ 0 定義的 x[n]，單邊Z轉換定義為

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.$

在訊號處理中，這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位脈衝響應。

單邊Z轉換的一個重要例子是概率母函數，其中 x[n] 部分是離散隨機變量取 n 值時的概率，而函數 X(z) 通常寫作 X(s)，用 s = z⁻¹ 表示。Z轉換的性質（在下面）在概率論背景下有很多有用的解釋。

地球物理學定義

地球物理中的Z轉換，通常的定義是 z 的冪級數而非 z⁻¹ 的。例如，Robinson、Treitel和Kanasewich都使用這個慣例。 地球物理定義為：

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.$$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n}}x[n]z^{{n}}.$

這兩個定義是等價的；但差分結果會有一些不同。例如，零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義，在單位圓外用另一個定義。 因此，需要注意特定作者使用的定義。

逆Z轉換

逆Z轉換為

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$$x[n]={\mathcal {Z}}^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{{C}}X(z)z^{{n-1}}dz$

其中 C 是完全處於收斂域（ROC）內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下（參見例2），這意味着路徑 C 必須包圍 X(z) 的所有極點。

這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候（可以在ROC包含單位圓的時候使用，總能保證 X(z) 是穩定的，即所有極點都在單位圓內）。逆Z轉換可以化簡為逆離散傅利葉轉換：

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\pi }}^{{+\pi }}X(e^{{j\omega }})e^{{j\omega n}}d\omega .$

有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的Z轉換可以用Bluestein的FFT算法方便地計算。離散時間傅利葉轉換 (DTFT)—不要與離散傅利葉轉換（DFT）混淆—是通過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種Z轉換的特殊情況。

收斂域

收斂域（ROC）是指Z轉換的求和收斂的複數平面上的點集。

$ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$$ROC=\left\{z:\left|\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}\right|<\infty \right\}$

例1（無ROC）

令 x[n] = (0.5)ⁿ。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 成為

$x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$$x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{{-3}},0.5^{{-2}},0.5^{{-1}},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$

觀察上面的和

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}\to \infty .$

因此，沒有一個 z 值可以滿足這個條件。

例2（因果ROC）

ROC用藍色表示，單位圓用灰色虛點圓表示（外圈者，而 |z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示（內圈者）

令 $x[n]=0.5^{n}u[n]\$$x[n]=0.5^{n}u[n]\$（其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到

$x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$$x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$

觀察這個和

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}0.5^{n}z^{{-n}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{{-1}}}}.$

最後一個等式來自無窮幾何級數，而等式僅在 |0.5z⁻¹| < 1 時成立，可以以 z 為變量寫成 |z| > 0.5。因此，收斂域為 |z| > 0.5。在這種情況下，收斂域為複數平面「挖掉」原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

例3（非因果ROC）

ROC用藍色表示，單位圓用灰色虛點圓表示（用眼睛看會呈紅色），而 |z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示

令 $x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$$x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$（其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到

$x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.$$x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{{-3}},-(0.5)^{{-2}},-(0.5)^{{-1}},0,0,0,0,\cdots \right\}.$

觀察這個和

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}=-\sum _{{n=-\infty }}^{{-1}}0.5^{n}z^{{-n}}=-\sum _{{m=1}}^{{\infty }}\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{{m}}=1-{\frac {1}{1-0.5^{{-1}}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{{-1}}}}$

再次使用無窮幾何級數，此等式只在 |0.5⁻¹z| < 1 時成立，可以用 z 為變量寫成 |z| < 0.5。因此，收斂域為 |z| < 0.5。在這種情況下，收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。

本例與上例的不同之處僅在收斂域上。這是意圖展示只有轉換結果是不夠的。

實例結論

實例2和3清楚地表明，當且僅當指定收斂域時，x[n] 的Z轉換 X(z) 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖表明，在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形：收斂域永遠不會包含極點。

在例2中，因果系統產生一個包含 |z| = ∞ 的收斂域，而例3中的非因果系統產生包含 |z| = 0 的收斂域。

ROC表示為藍色圓環 0.5 < |z| < 0.75

在有多個極點的系統中，收斂域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如，

$x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$$x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$

的極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統，因為它包含一個因果項 (0.5)ⁿu[n] 和一個非因果項 −(0.75)ⁿu[−n−1]。

一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓（即 |z| = 1），那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統（例2）是穩定的，因為 |z| > 0.5 包含單位圓。

如果給定一個沒有收斂域的Z轉換（即模糊的 x[n]），可以確定一個唯一的 x[n] 滿足下列：

• 穩定性
• 因果性

如果你要穩定性，收斂域必須包含單位圓；如果你需要一個因果系統，收斂域必須包含無窮大，並且系統函數應為一個右邊序列。如果你需要一個非因果系統，那麼收斂域必須包含原點，且系統函數為左邊序列。如果你既要穩定性，也要因果性，系統函數的所有極點都必須在單位圓內。

可以找到唯一的 x[n]。

性質

Z轉換性質

	時域	Z域	證明	收斂域
記法	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$$x[n]={\mathcal {Z}}^{{-1}}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$		$r_{2}<|z|<r_{1}$$r_{2}<|z|<r_{1}$
線性	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{{-n}}\\&=a_{1}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(n)z^{{-n}}+a_{2}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{2}(n)z^{{-n}}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
時間膨脹	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}$$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}$ r: 整數	$X(z^{K})$$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{K}(n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{r=-\infty }}^{{\infty }}x(r)z^{{-rK}}\\&=\sum _{{r=-\infty }}^{{\infty }}x(r)(z^{{K}})^{{-r}}\\&=X(z^{{K}})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$$R^{{{\frac {1}{K}}}}$
降取樣	$x[nK]$$x[nK]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$${\frac {1}{K}}\sum _{{p=0}}^{{K-1}}X\left(z^{{{\tfrac {1}{K}}}}\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}}\right)$	ohio-state.edu  或  ee.ic.ac.uk
時移	$x[n-k]$$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$$z^{{-k}}X(z)$	${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n-k]z^{{-n}}\\&=\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-(j+k)}}&&j=n-k\\&=\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}z^{{-k}}\\&=z^{{-k}}\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}\\&=z^{{-k}}\sum _{{j=0}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{{-k}}X(z)\end{aligned}}$	ROC，除了 k > 0 時 z = 0 和 k < 0 時 z = ∞
Z域的 尺度性質	$a^{n}x[n]$$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$$X(a^{{-1}}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}a^{{n}}x(n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n)(a^{{-1}}z)^{{-n}}\\&=X(a^{{-1}}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
時間反轉	$x[-n]$$x[-n]$	$X(z^{-1})$$X(z^{{-1}})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(-n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{m=-\infty }}^{{\infty }}x(m)z^{{m}}\\&=\sum _{{m=-\infty }}^{{\infty }}x(m){(z^{{-1}})}^{{-m}}\\&=X(z^{{-1}})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
共軛複數	$x^{*}[n]$$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x^{*}(n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\left[x(n)(z^{*})^{{-n}}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n)(z^{*})^{{-n}}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
實部	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$$\operatorname {Re}\{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
虛部	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$$\operatorname {Im}\{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
微分	$nx[n]$$nx[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}nx(n)z^{{-n}}\\&=z\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}nx(n)z^{{-n-1}}\\&=-z\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n)(-nz^{{-n-1}})\\&=-z\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n){\frac {d}{dz}}(z^{{-n}})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$
摺積	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)X_{2}(z)$$X_{1}(z)X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\left[\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{{-n}}\\&=\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{2}(n-l)z^{{-n}}\right]\\&=\left[\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)z^{{-l}}\right]\!\!\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{2}(n)z^{{-n}}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
互相關	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$$r_{{x_{1},x_{2}}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$$R_{{x_{1},x_{2}}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		包含 $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$$X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ 與 $X_{2}(z)$$X_{2}(z)$ 的ROC的交集
一階差分	$x[n]-x[n-1]$$x[n]-x[n-1]$	$(1-z^{-1})X(z)$$(1-z^{{-1}})X(z)$		包含 X1(z) 與 z ≠ 0 的ROC的交集
累積	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$$\sum _{{k=-\infty }}^{{n}}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$${\frac {1}{1-z^{{-1}}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\sum _{{k=-\infty }}^{{n}}x[k]z^{{-n}}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{{-n}}\\&=X[z]\left(1+z^{{-1}}+z^{{-2}}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{{j=0}}^{{\infty }}z^{{-j}}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{{-1}}}}\end{aligned}}$
乘法	$x_{1}[n]x_{2}[n]$$x_{1}[n]x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{{-1}}{\mathrm {d}}v$		-

帕塞瓦爾定理

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{{-1}}{\mathrm {d}}v$

初值定理：如果 x[n] 為因果的，那麼

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$$x[0]=\lim _{{z\to \infty }}X(z).$

終值定理：如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內，則

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$$x[\infty ]=\lim _{{z\to 1}}(z-1)X(z).$

常見的Z轉換對表

這裏：

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

是單位階躍函數而

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

是離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數，但由於它們的不連續性把它們看成是分佈（它們在 n = 0 處的值通常無關緊要，除非在處理離散時間的時候，它們會變成衰減離散級數；在本章節中對連續和離散時間域，都在 n = 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內容）。同時列出兩個「函數」，使得（在連續時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的積分，或（在離散時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的求和，因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。

	訊號，$x[n]$$x[n]$	Z轉換，$X(z)$$X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$$\delta [n]$	1	所有 z
2	$\delta [n-n_{0}]$$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$$z^{{-n_{0}}}$	$z\neq 0$$z\neq 0$
3	$u[n]\,$$u[n] \,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$$\frac{1}{1-z^{-1} }$	$|z|>1$$|z|>1$
4	$e^{-\alpha n}u[n]$$e^{{-\alpha n}}u[n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$${1 \over 1-e^{{-\alpha }}z^{{-1}}}$	$|z|>e^{-\alpha }\,$$|z|>e^{{-\alpha }}\,$
5	$-u[-n-1]$$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$$\frac{1}{1 - z^{-1}}$	$|z|<1$$|z|<1$
6	$nu[n]$$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$$\frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}$	$|z|>1$$|z|>1$
7	$-nu[-n-1]\,$$- n u[-n-1] \,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$$\frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }$	$|z|<1$$|z|<1$
8	$n^{2}u[n]$$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z|>1\,$$|z| > 1\,$
9	$-n^{2}u[-n-1]\,$$- n^2 u[-n - 1] \,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z|<1\,$$|z| < 1\,$
10	$n^{3}u[n]$$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z|>1\,$$|z| > 1\,$
11	$-n^{3}u[-n-1]$$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z|<1\,$$|z| < 1\,$
12	$a^{n}u[n]$$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
13	$-a^{n}u[-n-1]$$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z|<|a|$$|z|<|a|$
14	$na^{n}u[n]$$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
15	$-na^{n}u[-n-1]$$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z|<|a|$$|z|<|a|$
16	$n^{2}a^{n}u[n]$$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
17	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z|<|a|$$|z|<|a|$
18	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{-2}}}}$	$|z|>1$$|z|>1$
19	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{-2}}}}$	$|z|>1$$|z|>1$
20	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{{-2}}}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
21	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$

與傅利葉級數和傅利葉轉換的關係

對於區域 |z|=1（稱為單位圓）內的 z 值，我們可以通過定義 z=e^jω 來用單一實變量的函數來表示該轉換。於是雙邊轉換就簡化為了傅利葉級數：

   

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ z^{{-n}}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ e^{{-j\omega n}},$

(Eq.1)

   

也被稱作 x[n] 序列的離散時間傅利葉轉換（DTFT）。這個以 2π 為周期的函數是傅利葉轉換的周期性求和，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點，令 X(f) 為任意函數 x(t) 的傅利葉轉換，該函數以某個間隔 T 取樣就與 x[n] 序列相等。於是 x[n] 序列的DTFT可以寫作：

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).$$\underbrace {\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\overbrace {x(nT)}^{{x[n]}}\ e^{{-j2\pi fnT}}}_{{{\text{DTFT}}}}={\frac {1}{T}}\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}X(f-k/T).$

若T的單位是秒，$\textstyle f$$\textstyle f$的單位即為赫茲。比較兩個數列可得 $\textstyle \omega =2\pi fT$$\textstyle \omega =2\pi fT$ 為標準化頻率，單位是radians per sample。數值ω=2π對應$\textstyle f={\frac {1}{T}}$$\textstyle f={\frac {1}{T}}$ Hz. ，而且在替換 $\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},$$\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},$後，  Eq.1可以表示為傅利葉轉換X(•):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$$\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ e^{{-j\omega n}}={\frac {1}{T}}\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)}_{{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}}.$

若數列x(nT)表示線性非時變系統的脈衝響應，這些函數也稱為頻率響應，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函數表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的離散傅利葉轉換來計算。（參照離散傅利葉變換#周期性）

和拉氏變換的關係

雙線性轉換

雙線性轉換可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$

將一個拉氏域的函數$H(s)$$H(s)$轉換為Z域下的$H(z)$$H(z)$，或是

$z={\frac {2+sT}{2-sT}}$$z={\frac {2+sT}{2-sT}}$

從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性轉換，複數的s平面（拉氏變換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的單位圓內。因此，傅利葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅利葉變換，前提是假設其傅利葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區域包括jΩ軸。

線性常係數差分方程

線性常係數差分（LCCD）方程是基於自回歸滑動平均的線性系統表達形式。

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}$$\sum _{{p=0}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}$

上面等式兩邊可以同時除以 α₀，如果非零，正規化 α₀ = 1，LCCD方程可以寫成

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.$$y[n]=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}-\sum _{{p=1}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}.$

LCCD方程的這種形式有利於更加明確「當前」輸出 y[n] 是過去輸出 y[n−p]、當前輸入 x[n] 與之前輸入 x[n−q] 的一個函數。

傳遞函數

對上述方程去Z轉換（使用線性和時移法則）得到

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$$Y(z)\sum _{{p=0}}^{{N}}z^{{-p}}\alpha _{{p}}=X(z)\sum _{{q=0}}^{{M}}z^{{-q}}\beta _{{q}}$

整理結果

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{q=0}}^{{M}}z^{{-q}}\beta _{{q}}}{\sum _{{p=0}}^{{N}}z^{{-p}}\alpha _{{p}}}}={\frac {\beta _{0}+z^{{-1}}\beta _{1}+z^{{-2}}\beta _{2}+\cdots +z^{{-M}}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{{-1}}\alpha _{1}+z^{{-2}}\alpha _{2}+\cdots +z^{{-N}}\alpha _{N}}}.$

零點和極點

由代數基本定理得知分子有 M 個根（對應於 H 的零點）和分母有 N 個根（對應於極點）。用極點和零點重新整理傳遞函數為

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}$$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{{-1}})(1-q_{2}z^{{-1}})\cdots (1-q_{M}z^{{-1}})}{(1-p_{1}z^{{-1}})(1-p_{2}z^{{-1}})\cdots (1-p_{N}z^{{-1}})}}$

其中 q_k 為 k 階零點，p_k 為 k 階極點。零點和極點通常是複數，當在複數平面（z平面）作圖時稱為零極點圖。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話，零點和極點的數目總會相等。

通過對分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的脈衝響應和線性常係數差分方程。

輸出響應

如果一個系統 H(z) 由訊號 X(z) 驅動，那麼輸出為 Y(z) = H(z)X(z)。通過對 Y(z) 部分分式分解並取逆Z轉換可以得到輸出 y[n]。在實際運用中，在分式分解 ${\frac {Y(z)}{z}}$${\frac {Y(z)}{z}}$ 之後再乘 z 產生 Y(z) 的一個形式（含有很容易計算逆Z轉換的項）往往很有用。

參見

• 高級Z轉換
• 雙線性轉換
• 差分方程（遞歸關係式）
• 離散摺積
• 離散時間傅利葉轉換
• 有限脈波響應
• 形式冪級數
• 拉普拉斯轉換
• 洛朗級數
• 概率母函數
• Star轉換
• Zak轉換
• ζ函數正規化

延伸閱讀

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Z-transform, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Z-Transform table of some common Laplace transforms
• Mathworld's entry on the Z-transform
• Z-Transform threads in Comp.DSP
• Z-Transform Module by John H. Mathews
• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform