關於統計學中的標準Z-分數,請見「
標準分數」。關於統計學中的Fisher Z-轉換,請見「
費雪轉換」。
在數學和訊號處理中,Z轉換(英語:Z-transform)把一連串離散的實數或複數訊號,從時域轉為復頻域表示。
可以把它認為是拉普拉斯轉換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性
現在所知的Z轉換的基本思想,拉普拉斯就已了解,而1947年W. Hurewicz用作求解常係數差分方程式的一種容易處理的方式。[1] 後來由1952年哥倫比亞大學的取樣控制組的雷加基尼和查德稱其為「Z轉換」。[2][3]
E. I. Jury後來發展並推廣了改進或高級Z轉換。[4][5]
Z轉換中包含的思想在數學裏稱作母函數方法,該方法可以追溯到1730年的時候,棣莫弗與概率論結合將其引入。[6] 從數學的角度,當把數碼序列視為解析函數的(洛朗)展開時,Z轉換也可以看成是洛朗級數。
像很多積分轉換一樣,Z轉換可以有單邊和雙邊定義。
雙邊Z轉換[編輯]
雙邊Z轉換把離散時域訊號 x[n] 轉為形式冪級數 X(Z)。
![X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e)
當中
是整數,
是複數變數,其表示方式為

其中 A 為 z 的模,j 為虛數單位,而 ɸ 為幅角(也叫相位角),用弧度表示。
單邊Z轉換[編輯]
另外,只對 n ≥ 0 定義的 x[n],單邊Z轉換定義為
![X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e560ddcffcbab6fa176f4d2dd8e3fe60905b55)
在訊號處理中,這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位脈衝響應。
單邊Z轉換的一個重要例子是概率母函數,其中 x[n] 部分是離散隨機變數取 n 值時的概率,而函數 X(z) 通常寫作 X(s),用 s = z−1 表示。Z轉換的性質(在下面)在概率論背景下有很多有用的解釋。
地球物理學定義[編輯]
地球物理中的Z轉換,通常的定義是 z 的冪級數而非 z−1 的。例如,Robinson、Treitel[7]和Kanasewich都使用這個慣例。[8] 地球物理定義為:
![X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{{n}}x[n]z^{{n}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af64bf848f2f92b8aab0469ae4c87827d8092916)
這兩個定義是等價的;但差分結果會有一些不同。例如,零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義,在單位圓外用另一個定義。[7][8] 因此,需要注意特定作者使用的定義。
逆Z轉換[編輯]
逆Z轉換為
![x[n]={\mathcal {Z}}^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{{C}}X(z)z^{{n-1}}dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872e380a9d155a1ee7a3cb5e2ee0e4f033927995)
其中 C 是完全處於收斂域(ROC)內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下(參見例2),這意味着路徑 C 必須包圍 X(z) 的所有極點。
這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候(可以在ROC包含單位圓的時候使用,總能保證 X(z) 是穩定的,即所有極點都在單位圓內)。逆Z轉換可以化簡為逆離散傅利葉轉換:
![x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\pi }}^{{+\pi }}X(e^{{j\omega }})e^{{j\omega n}}d\omega .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cad6f61b3feec604ba454617acaea7beae9be)
有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的Z轉換可以用Bluestein的FFT算法方便地計算。離散時間傅利葉轉換 (DTFT)—不要與離散傅利葉轉換(DFT)混淆—是通過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種Z轉換的特殊情況。
收斂域[編輯]
收斂域(ROC)是指Z轉換的求和收斂的複數平面上的點集。
![ROC=\left\{z:\left|\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}\right|<\infty \right\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad42c66ac900377f174a50adb30ad596be17f9a)
例1(無ROC)[編輯]
令 x[n] = (0.5)n。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 成為
![x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{{-3}},0.5^{{-2}},0.5^{{-1}},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0a16581c6c01c2dbd61d6e345d0c1daf45a4ef)
觀察上面的和
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}\to \infty .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1521fe62d231dfb0fae8a8583d4fad0882b0)
因此,沒有一個 z 值可以滿足這個條件。
例2(因果ROC)[編輯]
ROC用藍色表示,單位圓用灰色虛點圓表示(外圈者,而 |
z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示(內圈者)
令
(其中 u 是單位階躍函數)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到
![x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7beddbdd74691d956130f78850030ad4d8877e)
觀察這個和
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}0.5^{n}z^{{-n}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{{-1}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcec1d978fd88c533b13fc81a3a7b1dcb784bba)
最後一個等式來自無窮幾何級數,而等式僅在 |0.5z−1| < 1 時成立,可以以 z 為變數寫成 |z| > 0.5。因此,收斂域為 |z| > 0.5。在這種情況下,收斂域為複數平面「挖掉」原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。
例3(非因果ROC)[編輯]
ROC用藍色表示,單位圓用灰色虛點圓表示(用眼睛看會呈紅色),而 |
z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示
令
(其中 u 是單位階躍函數)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到
![x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{{-3}},-(0.5)^{{-2}},-(0.5)^{{-1}},0,0,0,0,\cdots \right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2b69a4dafb9fc491500100fe2de6c44bfcf08)
觀察這個和
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}=-\sum _{{n=-\infty }}^{{-1}}0.5^{n}z^{{-n}}=-\sum _{{m=1}}^{{\infty }}\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{{m}}=1-{\frac {1}{1-0.5^{{-1}}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57fe1a23dddbf87776696e5e0073d09629cead3)
再次使用無窮幾何級數,此等式只在 |0.5−1z| < 1 時成立,可以用 z 為變數寫成 |z| < 0.5。因此,收斂域為 |z| < 0.5。在這種情況下,收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。
本例與上例的不同之處僅在收斂域上。這是意圖展示只有轉換結果是不夠的。
實例結論[編輯]
實例2和3清楚地表明,若且唯若指定收斂域時,x[n] 的Z轉換 X(z) 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖表明,在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形:收斂域永遠不會包含極點。
在例2中,因果系統產生一個包含 |z| = ∞ 的收斂域,而例3中的非因果系統產生包含 |z| = 0 的收斂域。
ROC表示為藍色圓環 0.5 < |
z| < 0.75
在有多個極點的系統中,收斂域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如,
![x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a35aa48e0a80015443d04e9c2af649eb8979eab)
的極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |z| < 0.75,不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統,因為它包含一個因果項 (0.5)nu[n] 和一個非因果項 −(0.75)nu[−n−1]。
一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓(即 |z| = 1),那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統(例2)是穩定的,因為 |z| > 0.5 包含單位圓。
如果給定一個沒有收斂域的Z轉換(即模糊的 x[n]),可以確定一個唯一的 x[n] 滿足下列:
如果你要穩定性,收斂域必須包含單位圓;如果你需要一個因果系統,收斂域必須包含無窮大,並且系統函數應為一個右邊序列。如果你需要一個非因果系統,那麼收斂域必須包含原點,且系統函數為左邊序列。如果你既要穩定性,也要因果性,系統函數的所有極點都必須在單位圓內。
可以找到唯一的 x[n]。
Z轉換性質
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時域 |
Z域 |
證明 |
收斂域 |
記法 |
![x[n]={\mathcal {Z}}^{{-1}}\{X(z)\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d) |
![X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f) |
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線性 |
![a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97ce6ff93cf3ccb0258ad080057561fe1defb16) |
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包含 ROC1 ∩ ROC2 |
時間膨脹 |
r: 整數
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降取樣 |
![x[nK]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a010d8a7bcfb8e917ed26c8d11ffd94640a049) |
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ohio-state.edu 或 ee.ic.ac.uk |
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時移 |
![x[n-k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0) |
 |
![{\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n-k]z^{{-n}}\\&=\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-(j+k)}}&&j=n-k\\&=\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}z^{{-k}}\\&=z^{{-k}}\sum _{{j=-k}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}\\&=z^{{-k}}\sum _{{j=0}}^{{\infty }}x[j]z^{{-j}}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{{-k}}X(z)\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d295516d056488d044f4f7b79ad32c636e864c49) |
ROC,除了 k > 0 時 z = 0 和 k < 0 時 z = ∞ |
Z域的
尺度性質
|
![a^{n}x[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e6317bd81d87cfd18bb11f24d33e311654f66) |
 |
![{\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}a^{{n}}x(n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n)(a^{{-1}}z)^{{-n}}\\&=X(a^{{-1}}z)\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f8477f13051fac644aa7c6b4d06995580f049f) |
 |
時間反轉 |
![x[-n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2958bd31d147e297b9544bac8ecb293bc64c54e2) |
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 |
共軛複數 |
![x^{*}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebfe6cd83983535242e2e7090ec8afd92fda490) |
 |
![{\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x^{*}(n)z^{{-n}}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\left[x(n)(z^{*})^{{-n}}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(n)(z^{*})^{{-n}}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a171fcc40b4257e1567ce9b1381ff4f0dfcac) |
|
實部 |
![\operatorname {Re}\{x[n]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e937c065ea014ea1a800b7d65e8598dd53b04fe) |
![{\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52189e67c3e7a9197f1fef536da483dd8298f088) |
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虛部 |
![\operatorname {Im}\{x[n]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ba3d404961701358a86f290f7ed4c584331b1) |
![{\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93477d1ad565aba61bd29e4fb3e6a036797a5036) |
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微分 |
![nx[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf25e4ef78078f099b667b5ae491f9de3d61ff) |
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摺積 |
![x_{1}[n]*x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729fc738effd3f2e021a0aafd5b601e5636866e) |
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![{\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\left[\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{{-n}}\\&=\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{2}(n-l)z^{{-n}}\right]\\&=\left[\sum _{{l=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}(l)z^{{-l}}\right]\!\!\left[\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{2}(n)z^{{-n}}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3985e381c0872301ffe55acf809d1a3f73142d0d) |
包含 ROC1 ∩ ROC2 |
互相關 |
![r_{{x_{1},x_{2}}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c75f9bd7c335ef723987776fe4b720fdd74ce7) |
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包含 與 的ROC的交集 |
一階差分 |
![x[n]-x[n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2294625d3fa83bdd70d50e99c19cc0ad4f103ac7) |
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包含 X1(z) 與 z ≠ 0 的ROC的交集 |
累積 |
![\sum _{{k=-\infty }}^{{n}}x[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d6540c00220987b9e9b320d050bcbba37c4b4b) |
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![{\begin{aligned}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\sum _{{k=-\infty }}^{{n}}x[k]z^{{-n}}&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{{-n}}\\&=X[z]\left(1+z^{{-1}}+z^{{-2}}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{{j=0}}^{{\infty }}z^{{-j}}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{{-1}}}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3be12bdb3e4c8f0f0f7c7361b8289f9c62cb56) |
|
乘法 |
![x_{1}[n]x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6743e17b24b69f8e3967724f056c04b779ee3e) |
 |
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- |
帕塞瓦爾定理
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{{-1}}{\mathrm {d}}v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff45b737972bd6dc88fc06588ae6e08910d74e8b)
初值定理:如果 x[n] 為因果的,那麼
![x[0]=\lim _{{z\to \infty }}X(z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815494d8476445adef605f74b5b5a6765fb203c4)
終值定理:如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內,則
![x[\infty ]=\lim _{{z\to 1}}(z-1)X(z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1462160ef0f0d8de8000f78372f2a1b21c2a6031)
常見的Z轉換對表[編輯]
這裏:
![u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c15373dbd58410ab17d3c2c7ebe2123e276298)
是單位階躍函數而
![\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c07b1365b8d2566271e4752535678f92aedafa)
是離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數,但由於它們的不連續性把它們看成是分佈(它們在 n = 0 處的值通常無關緊要,除非在處理離散時間的時候,它們會變成衰減離散級數;在本章節中對連續和離散時間域,都在 n = 0 處取 1,否則不能使用下表中收斂域一欄的內容)。同時列出兩個「函數」,使得(在連續時間域)單位階躍函數是單位衝激函數的積分,或(在離散時間域)單位階躍函數是單位衝激函數的求和,因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。
|
訊號,![x[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d) |
Z轉換, |
ROC |
1 |
![\delta [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa) |
1 |
所有 z |
2 |
![\delta [n-n_{0}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c) |
 |
 |
3 |
![u[n] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5) |
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4 |
![e^{{-\alpha n}}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074d2265c2c901f6c15c3fbcbbf54d3a420d2eb) |
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 |
5 |
![-u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dd7dba0f892e5bcad792136d96cd5f5548a327) |
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6 |
![nu[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a28e84b105a96db578fb6e6b047465468b77ec) |
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7 |
![- n u[-n-1] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1) |
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8 |
![n^{2}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea874c2bd6b83f29b93caf0cbe50ee9131eaebc2) |
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9 |
![- n^2 u[-n - 1] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24) |
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10 |
![n^{3}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e2a53a00fc122eed75716c0c58cf9e58a0f38d) |
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11 |
![-n^{3}u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd111768ef860fc18a2c93e5dc2fb4b03dfab8c) |
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12 |
![a^{n}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef62e50254aa3175939a01611766c01f9bf7b39) |
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13 |
![-a^{n}u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718b1c4477718ebeb49ac1fc41415cadeadf1e7) |
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14 |
![na^{n}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5885cf352282908bc931ed56ad572fa84f6235c) |
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15 |
![-na^{n}u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d2fae6bc70beb0ec9d5881b38a29d427823fad) |
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16 |
![n^{2}a^{n}u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68eda406d1e088553723c0395d4ce2cdeff46e) |
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![-n^{2}a^{n}u[-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf891898f79a3cd0cf05030244592b6aaad421) |
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![\cos(\omega _{0}n)u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911a3c468c99d1dc042b3b5015b48108d9476aa) |
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![\sin(\omega _{0}n)u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59eccb10aa95ef5ba0a1ed904aee27526fe377d) |
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![a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90c4e4b46e7725d99960e3f99a846c65a5d5da) |
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![a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663af1f68929f4e26833381893076c001dfbebb) |
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與傅利葉級數和傅利葉轉換的關係[編輯]
對於區域 |z|=1(稱為單位圓)內的 z 值,我們可以通過定義 z=ejω 來用單一實變數的函數來表示該轉換。於是雙邊轉換就簡化為了傅利葉級數:
-
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ z^{{-n}}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ e^{{-j\omega n}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14ea7fbaab1d911450572d089188f9ed49bd4d1)
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(Eq.1)
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也被稱作 x[n] 序列的離散時間傅利葉轉換(DTFT)。這個以 2π 為周期的函數是傅利葉轉換的周期性求和,這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點,令 X(f) 為任意函數 x(t) 的傅利葉轉換,該函數以某個間隔 T 取樣就與 x[n] 序列相等。於是 x[n] 序列的DTFT可以寫作:
![\underbrace {\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\overbrace {x(nT)}^{{x[n]}}\ e^{{-j2\pi fnT}}}_{{{\text{DTFT}}}}={\frac {1}{T}}\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}X(f-k/T).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a954eea32605d9f5457cf746677b7d04bc788ef6)
若T的單位是秒,
的單位即為赫茲。比較兩個數列可得
為標準化頻率,單位是radians per sample。數值ω=2π對應
Hz. ,而且在替換
後, Eq.1可以表示為傅利葉轉換X(•):
![\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\ e^{{-j\omega n}}={\frac {1}{T}}\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)}_{{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3539536a288102ecbb30aaf9c3aedb72241a0df2)
若數列x(nT)表示線性非時變系統的脈衝響應,這些函數也稱為頻率響應,當x(nT)是週期性數列,其DTFT在一或多個共振頻率發散,在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率,振幅可變的狄拉克δ函數表示。因為其週期性,只會有有限個振幅,可以用較簡單許多的離散傅利葉轉換來計算。(參照離散傅利葉變換#周期性)
和拉氏變換的關係[編輯]
雙線性轉換[編輯]
雙線性轉換可以用在連續時間濾波器(用拉氏域表示)和離散時間濾波器(用Z域表示)之間的轉換,其轉換關係如下:

將一個拉氏域的函數
轉換為Z域下的
,或是

從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性轉換,複數的s平面(拉氏變換)可以映射到複數的z平面(Z轉換)。這個轉換是非線性的,可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的單位圓內。因此,傅利葉變換(在jΩ axis計算的拉氏變換)變成離散時間傅利葉變換,前提是假設其傅利葉變換存在,也就是拉氏變換的收斂區域包括jΩ軸。
線性常係數差分方程式[編輯]
線性常係數差分(LCCD)方程式是基於自回歸滑動平均的線性系統表達形式。
![\sum _{{p=0}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f003f262cbe68dc97f84a5dac9e927a3f2c52858)
上面等式兩邊可以同時除以 α0,如果非零,正規化 α0 = 1,LCCD方程式可以寫成
![y[n]=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}-\sum _{{p=1}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea05d580f1b1fecb9f9aa3ec3d80a9e0d8b02b1)
LCCD方程式的這種形式有利於更加明確「當前」輸出 y[n] 是過去輸出 y[n−p]、當前輸入 x[n] 與之前輸入 x[n−q] 的一個函數。
傳遞函數[編輯]
對上述方程式去Z轉換(使用線性和時移法則)得到

整理結果

零點和極點[編輯]
由代數基本定理得知分子有 M 個根(對應於 H 的零點)和分母有 N 個根(對應於極點)。用極點和零點重新整理傳遞函數為

其中 qk 為 k 階零點,pk 為 k 階極點。零點和極點通常是複數,當在複數平面(z平面)作圖時稱為零極點圖。
此外,在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話,零點和極點的數目總會相等。
通過對分母因式分解,可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的脈衝響應和線性常係數差分方程式。
輸出響應[編輯]
如果一個系統 H(z) 由訊號 X(z) 驅動,那麼輸出為 Y(z) = H(z)X(z)。通過對 Y(z) 部分分式分解並取逆Z轉換可以得到輸出 y[n]。在實際運用中,在分式分解
之後再乘 z 產生 Y(z) 的一個形式(含有很容易計算逆Z轉換的項)往往很有用。
參考文獻[編輯]
延伸閱讀[編輯]
- Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
- Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.
外部連結[編輯]