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Z轉換

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數學訊號處理中,Z轉換英語:Z-transform)把一連串離散實數複數訊號,從時域轉為復頻域表示。

可以把它認為是拉普拉斯變換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性

歷史[編輯]

現在所知的Z轉換的基本思想,拉普拉斯就已了解,而1947年W. Hurewicz英語Witold Hurewicz用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。[1] 後來由1952年哥倫比亞大學的取樣控制組的雷加基尼查德稱其為「Z轉換」。[2][3]

E. I. Jury後來發展並推廣了改進或高級Z轉換英語Advanced Z-transform[4][5]

Z轉換中包含的思想在數學裏稱作母函數方法,該方法可以追溯到1730年的時候,棣莫弗與概率論結合將其引入。[6] 從數學的角度,當把數碼序列視為解析函數的(洛朗)展開時,Z轉換也可以看成是洛朗級數

定義[編輯]

像很多積分變換一樣,Z轉換可以有單邊和雙邊定義。

雙邊Z轉換[編輯]

雙邊Z轉換把離散時域訊號 x[n] 轉為形式冪級數 X(Z)

當中 是整數, 是複數變量,其表示方式為

其中 Az 的模,j虛數單位,而 ɸ 為幅角(也叫相位角),用弧度表示。

單邊Z轉換[編輯]

另外,只對 n ≥ 0 定義的 x[n]單邊Z轉換定義為

訊號處理中,這個定義可以用來計算離散時間因果系統單位脈衝響應

單邊Z轉換的一個重要例子是概率母函數,其中 x[n] 部分是離散隨機變量取 n 值時的概率,而函數 X(z) 通常寫作 X(s),用 s = z−1 表示。Z轉換的性質(在下面)在概率論背景下有很多有用的解釋。

地球物理學定義[編輯]

地球物理中的Z轉換,通常的定義是 z 的冪級數而非 z−1 的。例如,Robinson、Treitel[7]和Kanasewich都使用這個慣例。[8] 地球物理定義為:

這兩個定義是等價的;但差分結果會有一些不同。例如,零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義,在單位圓外用另一個定義。[7][8] 因此,需要注意特定作者使用的定義。

逆Z轉換[編輯]

Z轉換為

其中 C 是完全處於收斂域(ROC)內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下(參見例2),這意味着路徑 C 必須包圍 X(z) 的所有極點。

這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候(可以在ROC包含單位圓的時候使用,總能保證 X(z) 是穩定的,即所有極點都在單位圓內)。逆Z轉換可以化簡為逆離散傅利葉變換

有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的Z轉換可以用Bluestein的FFT算法方便地計算。離散時間傅利葉變換 (DTFT)—不要與離散傅利葉變換(DFT)混淆—是通過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種Z轉換的特殊情況。

收斂域[編輯]

收斂域(ROC)是指Z轉換的求和收斂的複數平面上的點集。

例1(無ROC)[編輯]

x[n] = (0.5)n。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 成為

觀察上面的和

因此,沒有一個 z 值可以滿足這個條件。

例2(因果ROC)[編輯]

ROC用藍色表示,單位圓用灰色虛點圓表示(外圈者,而 |z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示(內圈者)

(其中 u單位階躍函數)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到

觀察這個和

最後一個等式來自無窮幾何級數,而等式僅在 |0.5z−1| < 1 時成立,可以以 z 為變量寫成 |z| > 0.5。因此,收斂域為 |z| > 0.5。在這種情況下,收斂域為複數平面「挖掉」原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

例3(非因果ROC)[編輯]

ROC用藍色表示,單位圓用灰色虛點圓表示(用眼睛看會呈紅色),而 |z| = 0.5 這個圓用虛線圓表示

(其中 u單位階躍函數)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 x[n] 得到

觀察這個和

再次使用無窮幾何級數,此等式只在 |0.5−1z| < 1 時成立,可以用 z 為變量寫成 |z| < 0.5。因此,收斂域為 |z| < 0.5。在這種情況下,收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。

本例與上例的不同之處僅在收斂域上。這是意圖展示只有變換結果是不夠的。

實例結論[編輯]

實例2和3清楚地表明,當且僅當指定收斂域時,x[n] 的Z轉換 X(z) 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖英語pole–zero plot表明,在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形:收斂域永遠不會包含極點。

在例2中,因果系統產生一個包含 |z| = ∞ 的收斂域,而例3中的非因果系統產生包含 |z| = 0 的收斂域。

ROC表示為藍色圓環 0.5 < |z| < 0.75

在有多個極點的系統中,收斂域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如,

的極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |z| < 0.75,不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統,因為它包含一個因果項 (0.5)nu[n] 和一個非因果項 −(0.75)nu[−n−1]。

一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓(即 |z| = 1),那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統(例2)是穩定的,因為 |z| > 0.5 包含單位圓。

如果給定一個沒有收斂域的Z轉換(即模糊的 x[n]),可以確定一個唯一的 x[n] 滿足下列:

  • 穩定性
  • 因果性

如果你要穩定性,收斂域必須包含單位圓;如果你需要一個因果系統,收斂域必須包含無窮大,並且系統函數應為一個右邊序列。如果你需要一個非因果系統,那麼收斂域必須包含原點,且系統函數為左邊序列。如果你既要穩定性,也要因果性,系統函數的所有極點都必須在單位圓內。

可以找到唯一的 x[n]

性質[編輯]

Z轉換性質
時域 Z域 證明 收斂域
記法
線性 包含 ROC1 ∩ ROC2
時間膨脹

r: 整數

降取樣 ohio-state.edu  或  ee.ic.ac.uk
時移 ROC,除了 k > 0 時 z = 0 和 k < 0 時 z = ∞
Z域的

尺度性質

時間反轉
共軛複數
實部
虛部
微分
摺積 包含 ROC1 ∩ ROC2
互相關 包含 的ROC的交集
一階差分 包含 X1(z)z ≠ 0 的ROC的交集
累積
乘法 -

帕塞瓦爾定理

初值定理:如果 x[n] 為因果的,那麼

終值定理:如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內,則

常見的Z轉換對表[編輯]

這裏:

單位階躍函數

離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數,但由於它們的不連續性把它們看成是分佈(它們在 n = 0 處的值通常無關緊要,除非在處理離散時間的時候,它們會變成衰減離散級數;在本章節中對連續和離散時間域,都在 n = 0 處取 1,否則不能使用下表中收斂域一欄的內容)。同時列出兩個「函數」,使得(在連續時間域)單位階躍函數是單位衝激函數的積分,或(在離散時間域)單位階躍函數是單位衝激函數的求和,因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。

訊號, Z轉換, ROC
1 1 所有 z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

與傅利葉級數和傅利葉變換的關係[編輯]

對於區域 |z|=1(稱為單位圓)內的 z 值,我們可以通過定義 z=e 來用單一實變量的函數來表示該變換。於是雙邊變換就簡化為了傅利葉級數

   
(Eq.1)

   

也被稱作 x[n] 序列的離散時間傅利葉變換(DTFT)。這個以 2π 為周期的函數是傅利葉變換周期性求和英語periodic summation,這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點,令 X(f) 為任意函數 x(t) 的傅利葉變換,該函數以某個間隔 T 取樣就與 x[n] 序列相等。於是 x[n] 序列的DTFT可以寫作:

若T的單位是秒,的單位即為赫茲。比較兩個數列可得  為標準化頻率英語Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations,單位是radians per sample。數值ω=2π對應 Hz. ,而且在替換 後,  Eq.1可以表示為傅利葉變換X(•):

若數列x(nT)表示線性非時變系統脈衝響應,這些函數也稱為頻率響應,當x(nT)是週期性數列,其DTFT在一或多個共振頻率發散,在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率,振幅可變的狄拉克δ函數表示。因為其週期性,只會有有限個振幅,可以用較簡單許多的離散傅利葉變換來計算。(參照離散傅利葉變換#周期性

和拉氏變換的關係[編輯]

雙線性變換[編輯]

雙線性變換可以用在連續時間濾波器(用拉氏域表示)和離散時間濾波器(用Z域表示)之間的轉換,其轉換關係如下:

將一個拉氏域的函數轉換為Z域下的,或是

從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性變換,複數的s平面(拉氏變換)可以映射到複數的z平面(Z轉換)。這個轉換是非線性的,可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的單位圓內。因此,傅利葉變換(在jΩ axis計算的拉氏變換)變成離散時間傅利葉變換,前提是假設其傅利葉變換存在,也就是拉氏變換的收斂區域包括jΩ軸。

線性常係數差分方程[編輯]

線性常係數差分(LCCD)方程是基於自回歸滑動平均的線性系統表達形式。

上面等式兩邊可以同時除以 α0,如果非零,正規化 α0 = 1,LCCD方程可以寫成

LCCD方程的這種形式有利於更加明確「當前」輸出 y[n] 是過去輸出 y[n−p]、當前輸入 x[n] 與之前輸入 x[n−q] 的一個函數。

傳遞函數[編輯]

對上述方程去Z轉換(使用線性和時移法則)得到

整理結果

零點和極點[編輯]

代數基本定理得知分子M(對應於 H 的零點)和分母有 N 個根(對應於極點)。用極點和零點重新整理傳遞函數

其中 qkk 階零點,pkk 階極點。零點和極點通常是複數,當在複數平面(z平面)作圖時稱為零極點圖英語pole–zero plot

此外,在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話,零點和極點的數目總會相等。

通過對分母因式分解,可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的脈衝響應和線性常係數差分方程。

輸出響應[編輯]

如果一個系統 H(z) 由訊號 X(z) 驅動,那麼輸出為 Y(z) = H(z)X(z)。通過對 Y(z) 部分分式分解並取逆Z轉換可以得到輸出 y[n]。在實際運用中,在分式分解 之後再乘 z 產生 Y(z) 的一個形式(含有很容易計算逆Z轉換的項)往往很有用。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ E. R. Kanasewich. Time sequence analysis in geophysics 3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1. 
  2. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh. The analysis of sampled-data systems. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, 71 (II): 225–234. 
  3. ^ Cornelius T. Leondes. Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5. 
  4. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 1958. 
  5. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0. 
  6. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. 1964: 1. 
  7. ^ 7.0 7.1 Enders A. Robinson, Sven Treitel. Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481. 
  8. ^ 8.0 8.1 E. R. Kanasewich. Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741. 

延伸閱讀[編輯]

  • Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
  • Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部連結[編輯]