中心 (群論)

在抽象代數中，群$G$的中心$Z\left(G\right)$是所有在$G$中和$G$的所有元素可交換的元素的集合，也就是：

$Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}$

注意$Z\left(G\right)$是一個$G$的子群：若$x$和$y$在$Z\left(G\right)$中，則$\left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G$，故$xy$也在$Z\left(G\right)$中。同樣的論證對於逆操作也成立。

而且，$Z\left(G\right)$是一個$G$的可交換子群，也是$G$的正規子群，甚至是$G$的嚴格特徵子群，但不總是完全特徵的。

$G$的中心是整個$G$當且僅當$G$是可交換群。另一個極端是，若$Z\left(G\right)$是平凡群，群可以是無中心的。

考慮映射$\Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)$，這是到$G$的自同構群的映射，定義為：

$G$中每個元素$G$在$\Phi$下的像是自同構$h\longmapsto ghg^{-1}$。$\Phi$的核是$G$的中心，而$\Phi$的像稱為$G$的內自同構群，記為$\operatorname {Inn} \left(G\right)$，按照第一同構定理：$G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)$。

例子

阿貝爾群G的中心即為其自身G。

正交群$O\left(n\right)$的中心是$\left\{I,-I\right\}$。

參見

• 中心 (代數)
• 中心化子和正規化子
• 共軛類