二項式系數

二項式系數可排列成帕斯卡三角形

在數學上，二項式系數是二項式定理中各項的系數。一般而言，二項式系數由兩個非負整數$n$和$k$為參數決定，寫作 ${\tbinom {n}{k}}$，定義為 $(1+x)^{n}$的多項式展開式中，$x^{k}$項的系數，因此一定是非負整數。如果將二項式系數 ${\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}$寫成一行，再依照 $n=0,1,2,\dots$順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式系數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，${\tbinom {n}{k}}$可以被理解為從$n$個相異元素中取出$k$個元素的方法數，所以 ${\tbinom {n}{k}}$大多讀作「$n$取$k$」。二項式系數 ${\tbinom {n}{k}}$的定義可以推廣至$n$是複數的情況，而且仍然被稱為二項式系數。

歷史及記號

雖然二項式系數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 ${\tbinom {n}{k}}$卻是到1826年才由安德烈亞斯·馮·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式系數的論述是十世紀的 Halayudha寫的印度教典籍《賓伽羅的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。

二項式系數亦有不同的符號表達方式，包括：$C(n,k)$、$_{n}C_{k}$、$^{n}C_{k}$、$C_{n}^{k}$、$C_{k}^{n}$，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 $P_{k}^{n}$，例如寫作 P(n, k)。

定義及概念

對於非負整數$n$和$k$，二項式系數${\tbinom {n}{k}}$定義為$(1+x)^{n}$的多項式展開式中，$x^{k}$項的系數，即

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}$

事實上，若$x$、$y$為交換環上的元素，則

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$

此數的另一出處在組合數學，表達了從$n$物中，不計較次序取$k$物有多少方式，亦即從一$n$元素集合中所能組成$k$元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪$(1+X)^{n}$的$n$個因數逐一標記為$i$（從1至$n$），則任一$k$元素子集則建構成展式中的一個$X^{k}$項，故此該單項的系數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數$n$和$k$而言，${\tbinom {n}{k}}$亦為自然數。此外，二項式系數亦見於很多組合問題的解答中，如由$n$個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為$k$的數目為${\tbinom {n}{k}}$，又如算式$k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$，其中每一$a_{i}$均為非負整數，則有${\tbinom {n+k-1}{k}}$種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算$k$個元素的組合的數量。

計算二項式系數

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算${\tbinom {n}{k}}$的值。

遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式系數：

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N}$

其中特別指定：

${\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},$

${\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .$

此公式可由計算$(1+x)^{n-1}(1+x)$中的$x^{k}$項，或點算集合$\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$的$k$個元素組合中包含$n$與不包含$n$的數量得出。

顯然，如果$k>n$，則${\tbinom {n}{k}}=0$。而且對所有$n$，${\tbinom {n}{n}}=1$，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式

個別二項式系數可用以下公式計算：

${\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},$

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式系數在計算組合數量的意義理解：分子為從$n$個元素中取出$k$個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的$k$個元素可有多少種排序方式。

階乘公式

二項式系數最簡潔的表達式是階乘:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

其中「$n!$」是$n$的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以$(n-k)!$取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式系數的對稱特性：

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

(1)

一般化形式及其與二項式級數的關係

若將$n$換成任意數值（負數、實數或複數）$\alpha$，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式系數可籍乘數公式擴展：

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .$

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故${\tbinom {\alpha }{k}}$仍能相稱地稱作二項式系數：

$(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.$

(2)

此公式對任何複數$\alpha$及$X$，$\left\vert X\right\vert <1$時成立，故此亦可視作$X$的冪級數的恆等式，即系數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

$(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.$

若$\alpha$是一非負整數$n$，則所有$k>n$的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於$\alpha$的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)

帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示系數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式系數的對數，圖中可見數族形成一對數凹數列

主條目：帕斯卡法則

主條目：帕斯卡三角形

帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},$

(3)

此式可以用於數學歸納法，以証明${\tbinom {n}{k}}$對於所有$n$和$k$均為自然數（等同於証明$k!$為所有$k$個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第$n$橫行列出${\tbinom {n}{k}}$的$k=0,\ldots ,n$項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式系數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

$(x+y)^{5}={\boldsymbol {1}}x^{5}+{\boldsymbol {5}}x^{4}y+{\boldsymbol {10}}x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10}}x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5}}xy^{4}+{\boldsymbol {1}}y^{5}$

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(3)的延伸意義。

組合數學和統計學

二項式系數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

• 共有${\tbinom {n}{k}}$種方式從$n$元素中選取$k$項。見組合。
• 共有${\tbinom {n+k-1}{k}}$種方式從一個$n$元素集合中選取（容許重覆選取）$k$元素建立多重集。
• 共有${\tbinom {n+k}{k}}$個字符串包含$k$個1和$n$個零。
• 共有${\tbinom {n+1}{k}}$個字符串包含$k$個1和$n$個零，且沒有兩個1相鄰。
• 卡塔蘭數是${\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}$
• 統計學中的二項式分佈是${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
• 貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式系數

就任就非負整數$k$，$\scriptstyle {\binom {t}{k}}$可表達為一多項式除以$k!$：

${\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!$

此為帶有理數系數，變量是$t$的多項式，可對任意實數或複數$t$運算以得出二項式系數，此「廣義二項式系數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意$k$，多項式${\tbinom {t}{k}}$可看成是惟一的$k$次多項式$p(t)$滿足$p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0$及$p(k)=1$.

其系數可以第一類斯特靈數表示，即：

${\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}$

${\tbinom {t}{k}}$之導數可以對數微分計算：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.$

以二項式系數為多項式空間之基底

在任何包含Q的域中，最多$d$階的多項式有惟一的線性組合$\sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}$。系數$a_{k}$是數列$p(0),p(1),\ldots ,p(k)$的第k差分，亦即：

$a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).$

(3.5)

整數值多項式

每一多項式${\tbinom {t}{k}}$在整數參數時均是整數值（可在$k$上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式系數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式系數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域$k$的任何子環$R$，在$K[t]$內的多項式在整數參數時之值均在$R$內當且僅當該多項式是一二項式系數多項式的$R$-線性組合。

整數值多項式${\frac {3t(3t+1)}{2}}$可表達作：

$9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}$

從$t=1,2,3$時${\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45$用帕斯卡矩陣的逆可算出：

${\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}$

$=6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}$

這種二項式系數多項式結合朱世傑恆等式應用於等冪求和。

有關二項式系數的恆等式

關係式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式系數，例如在$k$是正整數時，對任意$n$有：

• ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$
• ${\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.$

兩個組合數相乘可作變換：

${\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}$

一階求和公式

• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}$
• $\sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}$
• $\sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}$
• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}$

• $\sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}$

${\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}$

• $F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}$

$F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}$

主條目：朱世傑恆等式

• $\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$

${\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}$

二階求和公式

• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}$

• $\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}$

$(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}$

$(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}$

$(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}$

主條目：范德蒙恆等式

• $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}$

三階求和公式

主條目：李善蘭恆等式

• ${\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}$

參考文獻

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• Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187. 

參見

• 組合

外部連結

• Calculation of Binomial Coefficient
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