多項式長除法

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多項式長除法代數中的一種算法,用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。是常見算數技巧長除法的一個推廣版本。它可以很容易地手算,因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。

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計算

把被除式、除式按某個字母作降冪排列,缺項補零,寫成以下形式:

然後商和餘數可以這樣計算:

  1. 將分子的第一項除以分母的最高次項(即次數最高的項,此處為x),得到首商,寫在橫線之上(x3 ÷ x = x2).
  2. 將分母乘以首商,乘積寫在分子前兩項之下(同類項對齊) (x2 · (x − 3) = x3 − 3x2).
  3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積(消去相等項,把不相等的項結合起來),得到第一餘式,寫在下面。((x3 − 12x2) − (x3 − 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然後,將分子的下一項「拿下來」。
  4. 把第一餘式當作新的被除式,重複前三步,得到次商與第二餘式(直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止.被除式=除式×商式+餘式 )
  5. 重複第四步,得到三商與第三餘式。餘式小於除式次數,運算結束。

橫線之上的多項式即為商,而剩下的 (−123) 就是餘數。

算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形,即所有 x 被替換為10的情形。

除法變換[編輯]

使用多項式長除法可以將一個多項式寫成 除數-商 的形式(經常很有用)。 考慮多項式 P(x), D(x) ((D)的次數 < (P)的次數)。 然後,對某個商多項式 Q(x) 和餘數多項式 R(x) ((R)的係數 < (D)的係數),

這種變換叫做除法變換,是從算數等式 .[1] 得到的。

應用[編輯]

多項式的因式分解[編輯]

有時某個多項式的一或多個根已知,可能是使用有理數根定理得到的。如果一個次多項式 的一個根已知,那麼 可以使用多項式長除法因式分解為的形式,其中是一個次的多項式。簡單來說,就是長除法的商,而又知的一個根、餘式必定為零。

相似地,如果不止一個根是已知的,比如已知這兩個,那麼可以先從中除掉線性因子得到,再從中除掉 ,以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子

使用這種方法,有時超過四次的多項式的所有根都可以求得,雖然這並不總是可能的。例如,如果有理數根定理可以用來求得一個五次方程的一個(比例)根,它就可以被除掉以得到一個四次商式;然後使用四次方程求根的顯式公式求得剩餘的根。

尋找多項式的切線[編輯]

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的餘式——也即,除以 x2-2rx+r2——那麼在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x),不論 r 是否是 P(x) 的根。

參見[編輯]

引用[編輯]

  1. ^ S. Barnard. Higher Algebra. READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866. 
  2. ^ Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.