奧斯特洛夫斯基定理

奧斯特洛夫斯基定理是一個關於有理數域絕對賦值的定理。於1916年由亞歷山大·奧斯特洛夫斯基證明。該定理說明，任何非平凡的有理數Q的絕對賦值要麼等價於通常實數域的絕對賦值，要麼等價於p進數的絕對賦值。

定義[編輯]

定義兩個絕對賦值 $|\cdot |$ 和 $|\cdot |_{\ast }$ 是等價的，如果存在一個實數c>0，使得：

\forall x\in \mathbb {K} ,\;\;|x|_{\ast }=|x|^{c}.

這是比兩絕對賦值結構的拓撲同胚的更嚴格的定義。

任何域的平凡絕對賦值被定義為：

|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}

有理數 $\mathbb {Q}$ 的實絕對賦值是正規實絕對賦值，定義為：

|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geqslant 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}

有時下標 $\infty$ 被寫成下標1。

給定素數 $p$ ， $p$ 進賦值的定義如下：

任何非零的有理數 $x$ 可以唯一寫成 $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ 。其中整數 $a$ 、 $b$ 和 $p$ 兩兩互質。 $n$ 是整數。 $x$ 的 $p$ 進賦值為：

|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}

另一個奧斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的絕對賦值完備域（從代數結構和拓撲結構方面）同構於實數域或複數域。這有時也稱為奧斯特洛夫斯基定理。

Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields 2nd edition. American Mathematical Society. 1996, 1997. ISBN 0-8218-0429-4. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
Nathan Jacobson. Basic algebra II 2nd ed. W H Freeman. 1989. ISBN 0-7167-1933-9.
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