審斂法

在數學領域，收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。

判別法列表

通項極限判別法

如果序列通項的極限不為零或無定義，即$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0$，那麼級數不收斂。在這種意義下，部分和是柯西數列的必要條件是極限存在且為零。這一判別法在通項極限為零時無效。

比值審斂法（檢比法）

假設對任何的$n$，$a_{n}>0$。如果存在$r$使得：

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r$

如果$r<1$，那麼級數絕對收斂。如果$r>1$，那麼級數發散。如果$r=1$，比例判別法失效，級數可能收斂也可能發散，此時可以考慮高斯判別法。

高斯判別法

設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判斷審斂性的級數，其中（至少從某一項開始）$a_{n}>0$。倘若其相鄰項比值${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$可以被表示為：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常數，而$\theta _{n}$是一個有界的序列，那麼

• 當$\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$時，級數收斂；
• 當$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \leq 1$時，級數發散。

根值審斂法（檢根法）

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

其中$\limsup$表示上極限（可能為無窮，若極限存在，則極限值等於上極限）。

如果$r<1$，級數絕對收斂。如果$r>1$，級數發散。如果$r=1$，開方判別法無效，級數可能收斂也可能發散。

積分判別法

級數可以與積分式比較來確定其斂散性。令$f(n)=a_{n}$為一正項單調遞減函數。如果：

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty$

那麼級數收斂。如果積分發散，那麼級數也發散。

比較審斂法

如果$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n，有$|a_{n}|\leq |b_{n}|$，那麼級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$也絕對收斂。

極限比較審斂法

如果$\left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0$，並且極限$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$存在非零，那麼$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收斂若且唯若$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$收斂。

交錯級數判別法

具有以下形式的級數$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$。其中所有的$a_{n}$非負，被稱作交錯級數。如果當$n$趨於無窮時，數列$a_{n}$的極限存在且等於$0$，並且每個$a_{n}$小於或等於$a_{n-1}$（即數列$a_{n}$是單調遞減的），那麼級數收斂。如果$L$是級數的和$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$那麼部分和$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$逼近$L$有截斷誤差$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$。

阿貝爾判別法

給定兩個實數項數列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$，如果數列滿足$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收斂，$\{b_{n}\}$是單調且有界的，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$收斂。

參閱

• 狄利克雷判別法
• 拉比判別法

外部連結

• Flowchart for choosing convergence test（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Convergence of infinite series（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）