矽 晶格 中的布洛赫波在固體物理學 中，布洛赫波 （Bloch wave ）是周期性位能場（如晶體 ）中粒子（一般為電子 ）的波函數 ，又名布洛赫態 （Bloch state ）。
布洛赫波因其提出者美 籍瑞士 裔物理學家菲利克斯·布洛赫 而得名。
布洛赫波由一個平面波 和一個周期函數
u
(
r
)
{\displaystyle u({\boldsymbol {r}})}
u
(
r
)
{\displaystyle u({\boldsymbol {r}})}
ψ
(
r
)
=
e
i
k
⋅
r
u
(
r
)
.
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u({\boldsymbol {r}}).}
式中
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
波向量 。上式表達的波函數稱為布洛赫函數 。當位能場具有離散的平移對稱性，其中的粒子所滿足的波動方程的解ψ存在性質：
ψ
(
r
+
R
n
)
=
e
i
k
⋅
R
n
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R_{n}}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R_{n}}}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
這一結論稱為布洛赫定理 （Bloch's theorem ），其中
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {R_{n}}}}
向量 。可以看出，具有上式性質的波函數可以寫成布洛赫函數的形式。
平面波波向量
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
普朗克常數 的乘積即為粒子的晶格動量 ）表徵不同原胞 間電子波函數的位相 變化，其大小只在一個倒易點陣 向量之內才與波函數滿足一一對應關係，所以通常只考慮第一布里淵區 內的波向量，即所謂「簡約波向量」。對一個給定的波矢和位能場分佈，電子運動的薛定諤方程 具有一系列解，稱為電子的能帶 ，常用波函數的下標n 以區別。這些能帶的能量 在
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
能隙 。在第一布里淵區 中所有能量本徵態 的集合構成了電子的能帶結構 。在單電子近似 的框架內，如一個周期性位能場具有離散的平移對稱性，電子的波函數可以由能帶和晶格動量來共同標記。電子運動的宏觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函數來可靠地預言。
上述結果的一個推論為：在確定的完整晶體結構中，布洛赫波向量
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
模 ），即電子波的群速度 為守恆量。換言之，在完整晶體中，電子運動可以不被格點散射 地傳播（所以該模型又稱為近自由電子近似 ），導體的電阻 僅僅來自那些破壞了位能場周期性的晶體缺陷以及電子與聲子的相互作用。
從薛定諤方程出發可以證明，哈密頓算符 與平移算符 的作用次序滿足交換律，所以周期位能場中粒子的本徵波函數總是可以寫成布洛赫函數的形式。更廣義地說，本徵函數滿足的算符作用對稱關係是群論 中表示理論 的一個特例。
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫 在1928年研究晶態固體的導電性時首次提出的，但其數學基礎在歷史上卻曾由喬治·威廉·希爾 （1877年），加斯東·弗洛凱 亞歷山大·李雅普諾夫 （1892年）等獨立地提出。因此，類似性質的概念在各個領域有着不同的名稱：常微分方程 理論中稱為弗洛凱理論 （也有人稱「李雅普諾夫-弗洛凱定理」）；一維周期性波動方程 則有時被稱為希爾方程 。
布洛赫定理的證明 [ 編輯 ] 給出平移算符
T
^
R
n
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
f
(
r
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {r}})}
T
^
R
n
f
(
r
)
=
f
(
r
+
R
n
)
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}f({\boldsymbol {r}})=f({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})}
其中
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
由於晶格周期勢的周期性，不難得到晶格哈密頓量具有離散的平移對稱性：
H
^
(
r
+
R
n
)
=
H
^
(
r
)
{\displaystyle {\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})}
所以有：
T
^
R
n
H
^
ψ
(
r
)
=
H
^
(
r
+
R
n
)
ψ
(
r
+
R
n
)
=
H
^
(
r
)
ψ
(
r
+
R
n
)
=
H
^
T
^
R
n
ψ
(
r
)
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}{\hat {H}}\psi ({\boldsymbol {r}})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
即此時哈密頓量算符與平移算符是對易的，從而它們具有共同的本徵函數，因此可討論
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
T
^
R
n
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
設
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})}
λ
R
n
{\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
T
^
R
n
ψ
(
r
)
=
ψ
(
r
+
R
n
)
=
λ
R
n
ψ
(
r
)
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
波函數的歸一化條件：
∫
|
ψ
(
r
)
|
2
d
r
=
∫
|
ψ
(
r
+
R
n
)
|
2
d
r
=
1
{\displaystyle \int |\psi ({\boldsymbol {r}})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int |\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=1}
要求
|
λ
R
n
|
2
=
1
{\displaystyle |\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}|^{2}=1}
λ
R
n
=
e
i
β
R
n
{\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}}
除此之外，平移算符還要滿足
T
^
R
n
T
^
R
m
ψ
=
λ
R
m
λ
R
n
ψ
=
T
^
R
n
+
R
m
ψ
=
λ
R
n
+
R
m
ψ
{\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi =\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{m}}\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi =\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi }
λ
R
n
+
R
m
=
λ
R
m
λ
R
n
{\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{m}}\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
將之前推導得到的
λ
R
n
=
e
i
β
R
n
{\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}}
β
R
n
+
R
m
=
β
R
n
+
β
R
m
{\displaystyle \beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}+\beta _{{\boldsymbol {R}}_{m}}}
由此可知，
β
{\displaystyle \beta }
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
β
R
n
=
k
⋅
R
n
{\displaystyle \beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}
λ
R
n
=
e
i
k
⋅
R
n
{\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}}
因此證明了對任意的布拉維格矢
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
ψ
(
r
+
R
n
)
=
T
^
R
n
ψ
(
r
)
=
λ
R
n
ψ
(
r
)
=
e
i
k
⋅
R
n
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
此即布洛赫定理。
參考資料 [ 編輯 ]
黃昆 原著，韓汝琦改編，《固體物理學》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 7-04-001025-9 閻守勝編著，《固體物理基礎》（第三版），北京大學出版社，ISBN 978-7-301-18863-7
Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996). Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976). Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52 , 555-600 (1928). George William Hill, "On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon," Acta. Math. 8 , 1-36 (1886). （本文初版於1877年，後曾被私下傳閱）。Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12 , 47-88 (1883). Alexander Mikhailovich Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (London: Taylor and Francis, 1992). （李雅普洛夫的博士論文，1892年完稿，穩定性理論的奠基之作）
