拋體運動

拋體運動是指將物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下做的運動。^[1]該運動是曲線運動，可以看成水平方向上的勻速直線運動和垂直方向上的自由落體運動的合成。伽利略是第一位正確指出拋體運動本質的物理學家。^[2]

研究歷史

拋體運動有着長遠的研究歷史，其源頭可追溯到古希臘。

亞里士多德

亞里士多德認為運動分為強迫運動和自然運動。拋體需要外力推動，故屬於強迫運動。拋體在向前運動時會在後方形成一塊虛空，周圍的氣體會迅速的填補這塊虛空，從而提供一個使拋體向前的力。拋體前面的空氣阻礙運動，後面的空氣推動運動，這保證了拋體運動既連續，又有限^[1]。

中世紀時期

公元6世紀，有學者質疑亞里士多德的理論。如果拋體和空氣直接接觸就可以產生並維持運動，那麼只需要擾動後方的空氣就可讓拋體動起來。這顯然是不對的。這位學者以一個無形的力替代了空氣，認為有一股力拋體在被拋出時注入了拋體，並且拋體離開拋射者手中後力仍然存在。^[1]

伽利略

伽利略是第一個正確指出拋體運動的本質的人。他在著作《關於兩門新科學的對話》中寫道：「設想任意一個質點沿水平面無摩擦地運動……如果這個平面是有限的，該質點就將穿過平面的邊界，在它原先所做的勻速的、永恆的運動外，由於自身的重量而獲得一個向下運動的傾向，產生的運動是一種水平勻速運動和另一種豎直加速運動的合成。」他同時用數學證明了拋體運動的軌跡是拋物線。^[1]

真空中的軌道

加速度

拋體運動的軌跡是曲線，因此速度矢量一直改變。根據牛頓第一定律，拋體受到的外力不為0。由於拋體在真空中運動，不受空氣阻力，所以拋體只在豎直方向上受重力的影響。拋體的加速度為

${\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=-g\end{cases}}$

其中 ${\textstyle g}$ 為重力加速度， ${\textstyle y}$ 軸的正方向向上時，重力加速度取 ${\textstyle -g}$ 。

速度

拋體運動在豎直和水平方向上的初速度

{\textstyle v_{0}}

之分量

{\textstyle v_{0y}}

與

{\textstyle v_{0x}}

，以及受到的重力加速度

{\textstyle g}

，其中速度與

{\textstyle x}

軸之夾角為

{\textstyle \alpha }

。

真空中平拋運動之速度在豎直和水平方向上分量變化

設拋體的初速度為 ${\textstyle v_{0}}$ ，速度與水平面（ ${\textstyle x}$ 軸）的夾角為 ${\textstyle \alpha }$ （當 ${\textstyle \alpha =0}$ 時，即初速度平行於地面時，所產生的運動稱為平拋運動。平拋運動是拋體運動的特例），運動時間為 ${\textstyle t}$ 。分解初速度，得到它在 ${\textstyle x}$ 軸和 ${\textstyle y}$ 軸上的分量，然後對加速度進行積分，即可得到速度與時間的關係^[2]。

${\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta \\v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt\\\end{cases}}$

位移

對速度進行積分可以得到任拋體的水平和豎直方向位移（這裏假設了拋體出發的地方是坐標系原點）^[2]：

${\begin{cases}x=v_{0}t\cos \theta \\y=v_{0}t\sin \theta -{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}$

上式為拋體運動的運動的參數方程。消去參數 ${\textstyle t}$ ，可得到拋體運動的軌跡方程：

$y=x\tan \theta -{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}$

這是拋物線的方程（事實上，拋物線的名字來源於拋體運動）。當 ${\textstyle \theta =0}$ 時，對應的運動為平拋運動。

射程

射程是拋體落地時與拋射點的距離。落地時，其 ${\textstyle y}$ 坐標為 ${\textstyle 0}$ ，代入拋體運動軌跡方程，可解出拋體的射程^[3]：

$R={\dfrac {2v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta }{g}}={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}$

當 ${\textstyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}=45^{\circ }}$ 時，拋體的射程最大。 ${\textstyle \sin \theta }$ 和 ${\textstyle \cos \theta }$ 兩個函數在 ${\textstyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}}$ 兩端時對稱的，因此對於相同的初速度，當 ${\textstyle \alpha +\beta ={\dfrac {\pi }{2}}}$ 時， ${\textstyle \alpha }$ 和 ${\textstyle \beta }$ 對應的拋體運動射程相同。