拉格朗日定理 (群論)

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書

拉格朗日定理群論的定理,利用陪集證明了子群的階一定是有限的階的因數值。

定理[編輯]

敘述:設H是有限G的子群,則H的整除G的階。

定理的證明利用了左陪集的性質,令H是群G的子群。可知H在G中的每個左陪集都是一個等價類(證明見下)。將G作左陪集分解,由於每個等價類的元素個數都相等,都等於H的元素個數(H是H關於e的左陪集),因此H的階(元素個數)整除G的階,商是H在G中的左陪集個數,叫做H對G的指數,記作[G:H]。

陪集的等價關係[編輯]

定義二元關係。下面證明它是一個等價關係

  1. 自反性:
  2. 對稱性:,因此,因此
  3. 遞移性:,因此,因此

可以證明,。因此左陪集是由等價關係確定的等價類。

拉格朗日定理說明,如果商群G / H存在,那麼它的階等於H對G的指數[G:H]。

上述寫法在G為無限群時也成立。

推論[編輯]

1. 由拉格朗日定理可立即得到:由有限群G中一個元素a的階數整除群G的階(考慮由a生成的循環群)。

2. 如果是質數,那麼所有階數為的群都同構(因為質數只有1和它本身為因數)。

3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。

逆命題[編輯]

拉格朗日定理的逆命題並不成立。給定一個有限群G和一個整除G的階的整數dG並不一定有階數為 d的子群。最簡單的例子是4次交替群A4,它的階是12,但對於12的因數6,A4沒有6階的子群。對於這樣的子群的存在性,柯西定理西洛定理給出了一個部分的回答。

參見[編輯]