柯尼斯堡七橋問題

歐拉時代的柯尼斯堡地圖，顯示了當時七座橋的實際位置。河流和橋樑使用特別的顏色標記出來。

柯尼斯堡七橋問題（德語：Königsberger Brückenproblem；英語：Seven Bridges of Königsberg）是圖論中的著名問題。這個問題是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市區跨普列戈利亞河兩岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？

解決方式

萊昂哈德·歐拉在1735年提出，並沒有方法能圓滿解決這個問題，他更在第二年發表在論文《柯尼斯堡的七橋》中，證明符合條件的走法並不存在，也順帶提出和解決了一筆畫問題。這篇論文在聖彼得堡科學院發表，成為圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點，則這一點的線數必須是偶數，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了，由於柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點，它無法實現符合題意的遍歷。

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歐拉把問題的實質歸於一筆畫問題，即判斷一個圖是否能夠遍歷完所有的邊而沒有重複，而柯尼斯堡七橋問題則是一筆畫問題的一個具體情境。歐拉最後給出任意一種河──橋圖能否全部走一次的判定法則，從而解決了「一筆畫問題」。對於一個給定的連通圖，如果存在超過兩個的奇頂點，那麼滿足要求的路線便不存在了，且有n個奇頂點的圖至少需要 $\lceil {\frac {n}{2}}\rceil$ 筆畫出。如果只有兩個奇頂點，則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點，則從任何一點出發，所求的路線都能實現，他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。

不少數學家都嘗試去解析這類事例。而這些解析，最後發展成為了數學中的圖論。

現在的七座橋

現在的加里寧格勒地圖，綠色表示現存的橋樑，紅色表示已毀損的橋樑。

圖中柯尼斯堡主教座堂旁邊的橋是兩條自歐拉時代保存至今的橋樑之一。

這七座橋之中，有兩座已經在二戰時的大轟炸中被損毀，另外兩座則被改建成快速公路。其餘三座則原址保留，當中又有一座於1935年被重建。換言之，歐拉當時的七座橋，現在只剩下五座，令奇頂點只剩下兩個，所以可以一次過走完五座橋。而從歐拉時代保存至今的就只有兩座。