# 球面

## 三維空間中的方程

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

a, b, c, d, e 為實數，a ≠ 0，並且

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \varphi \;\cos \theta \\y&=y_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (0\leq \varphi \leq \pi ,\;0\leq \theta <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \varphi \,\end{aligned}}}[3]

${\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y+z\,\mathrm {d} z=0.}$

## 包圍的體積

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle \Delta V\approx \pi y^{2}\cdot \Delta x.}$

${\displaystyle V=\lim _{||T||\to 0}\sum \pi y^{2}\cdot \Delta x.}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \varphi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \varphi \,\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \theta \mathrm {d} \rho ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

## 表面積

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

${\displaystyle \Delta V\approx A(r)\cdot \Delta r.}$

${\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \Delta r.}$

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}$

${\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}$

${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$

${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}\mathrm {d} x_{i},\;\forall k.}$

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin {\varphi }\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }[-r^{2}\cos {\varphi }]_{0}^{\pi }\,\mathrm {d} \theta =4\pi r^{2}.}$

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

## 幾何性質

### 球面束

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

• 若球面相交於一個實圓 C，則球面束由包含 C 的所有球面（包括基本平面）組成。球面束中所有普通球面的中心位於穿過 C 的中心並垂直於基本平面的直線（下面稱作「中心線」）上。
• 若球面相交於一個虛圓，球面束的所有球面也會通過這個虛圓，但是其實這些普通球面不相交（沒有真正的公共點）。中心線垂直於這個基本平面，這是一個真實的平面，但其中包含了一個假想的圓。
• 如果球面相交於一點 A，則所有在這個面內的球面 A 都是相切的，同時基本面是所有這些面的公切面。中心線在 A 處垂直於基本平面。

## 推廣

### 維數

• S0：0-球體是實線的區間[−r, r]的一對端點
• S1：1-球面是半徑為r
• S2：2-球面是普通的球面
• S33-球面是四維歐氏空間中的球面。

n > 2的球面有時稱作超球面 。

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

## 拓撲學

• 0-球面是一對具有離散拓撲的點。
• 1-球面是一個圓（同胚意義下）。因此，例如（任何扭結的像）是1-球面。
• 2-球面就是普通的球面（同胚意義下）。因此，例如，任何類球面都是2-球面。

n球面記為Sn 。它是沒有邊界緊緻拓撲流形的一個例子。球面不必是光滑的；如果它是光滑的，它就不需要與歐幾里得球面微分同胚 。

## 球面的十一種性質

David Hilbert和Stephan Cohn-Vossen的著作《幾何與想像》 [16]一書中，統一描述了球面的11種性質，並討論了這些性質是否僅僅存在於確定球面之中。一些性質對於平面來說也是成立的，因為平面可以視作半徑無限大的球面。這些性質為：

1. 球面上任意點與球心的距離都是相同的。同時，它和某兩個固定點之間的距離之比是恆定的。
第一句一般是球面的定義，可以唯一確定球面。而第二句的結論與阿波羅尼斯圓類似，很容易被推導出，第二句的結論也適用於平面。
2. 球面的外輪廓和用平面截出的截面都是圓。
該性質是球面獨有的性質。
3. 球面的徑長和周長保持不變。
曲面的徑長是指兩個與該曲面相切的互相平行的平面的距離。除了球面之外，還有很多的閉合凸面的徑長也是恆定不變的，例如邁斯納結構 。而曲面的周長是在平面上的正交投影的邊界長度。從這兩者中任意性質出發都可以推出另一個性質。
4. 球面的所有點都是臍點 。
因為球面上的法線是由球心向外輻射的，所以在球面上任意一點的 法線與其外表面的夾角都成直角。過法線的平面與曲面的交線形成的曲線稱為法曲線，法曲線的曲率為也被稱為法曲率。對於大多數曲面上大部分的點，不同的法曲線的法曲率也不同；而這些法曲率的最大值和最小值被稱為主曲率 。任何閉合的曲面上至少有四個臍點。臍點上所有的法曲率是相等的;包括其主曲率也是相等的。臍點可以被認為是曲面上最像球面的點。
球面上所有法曲線的曲率都是相等的，所以每個點都是臍點。曲面中，只有球面和平面具有此性質。
5. 球體是沒有中心表面的。
對於一個給定的法曲線，存在一個曲率等於截面曲率的曲率圓與曲面相切，圓心位於其法線上。例如，對應其最大和最小截面曲率的兩個圓心被稱為焦點 ，所有這些圓心的集合形成的面叫做焦面 。
對於大多數曲面來說，焦面會形成兩個曲面在臍點處相交。一下幾種特殊的情況：
• 對於管道曲面，一層焦面形成曲線，另一層焦面形成為曲面
• 對於圓錐體 ，圓柱體， 環面和環形曲線兩層焦面都形成曲面。
• 在球面上，每一個大圓的圓心都在球體的球心，而焦面形成一個點該性質是球面獨有的。
6. 球面上的所有測地線都是閉合曲線。
測地線是球面表面上的曲線，也是兩點之間的最短距離。它們是平面幾何中直線概念的一種概括性表達。對於球面來說，測地線是一個大的圓。許多其他的曲面都有這種性質。
7. 在體積大小一定的情況下，球面的表面積最小；而在表面積的大小固定的情況下，球面則能包圍最大的體積。
這個性質源自自等周不等式 。這些性質唯一地定義了球面，例如在肥皂泡中：肥皂泡包圍的體積不變， 其表面張力使得其表面積最小。一個自由浮動的肥皂泡因此近似於一個球體(儘管由於重力這樣的外力會輕微使得肥皂泡的形狀變得扭曲)。
8. 在所有已經給定表面積的凸固體中，球面的總平均曲率是最小的。
平均曲率是兩個主曲率的平均值，這是恆定的一個數值，因為球面上的所有點的主曲率都是相等的。
9. 球面的平均曲率是恆定的。
球面是唯一沒有邊界和奇異點而有恆定正平均曲率的嵌入面。其他如最小曲面這樣的沉浸面的平均曲率也是恆定的。
10. 球面的高斯曲率是一個常數。
高斯曲率是兩個主曲率的乘積。它是一種可以通過測量長度和角度來確定的固有性質，與曲面如何嵌入這個空間無關。因此，折彎曲面並不會改變高斯曲率，而其他高斯曲率不變的曲面則可以通過在球面上切割一個小狹縫並折彎來得到。所有其他的曲面都有邊界，球面是唯一沒有邊界的曲面，因為它的高斯曲率是一個常數。偽球面是一個高斯曲率為負且不變的曲面的例子。
11. 球面是由一個由三參數所組成的剛性運動所構成的。
圍繞任何軸旋轉，在原點處的單位球會將球面陰影映射到其自身上。任何繞着過原點的直線的旋轉都可以表示為在三坐標軸上旋轉的組合

（詳見歐拉角）。因此，存在一個三參數的旋轉族，使得每次旋轉將球面轉換成自身；這個族被稱為旋轉組SO(3)。該平面是唯一具有三參數變換族的一個曲面（沿原點周圍的xy軸旋轉和平移）。圓柱體是唯一具有雙參數系列剛性運動的表面，並且旋轉表面和螺旋面是具有單參數系列的表面。

## 注釋

1. Albert 2016，p. 54
2. Woods 1961，p. 266
3. ^ Kreyszig（1972, p. 342）
4. ^ Albert 2016，p. 60
5. ^ Steinhaus 1969，p. 223
6. ^
7. ^ Steinhaus 1969，p. 221
8. ^ r在這個計算中被認為是一個變量
9. ^ Pages 141, 149. E. J. Borowski; J. M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. ISBN 0-00-434347-6.
10. ^
11. ^ Albert 2016，p. 55
12. ^ Albert 2016，p. 57
13. Woods 1961，p. 267
14. ^ Albert 2016，p. 58
15. ^
16. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan. Geometry and the Imagination 2nd. Chelsea. 1952. ISBN 0-8284-1087-9.

## 參考文獻

• Albert, Abraham Adrian, Solid Analytic Geometry, Dover, 2016 [1949], ISBN 978-0-486-81026-3
• Dunham, William. The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. : 28, 226. ISBN 0-471-17661-3.
• Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics 3rd, New York: Wiley, 1972, ISBN 0-471-50728-8
• Steinhaus, H., Mathematical Snapshots Third American, Oxford University Press, 1969
• Woods, Frederick S., Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover, 1961 [1922]