等角螺線

等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系 $(r,\theta )$ 中，這個曲線可以寫為

r=ae^{b\theta }\,

或

\theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,

因此叫做「對數」螺線。

定理[編輯]

等角螺線的臂的距離以幾何級數遞增。
設 $L$ 為穿過原點的任意直線，則 $L$ 與等角螺線的相交的角永遠相等（故其名），而此值為 $\cot ^{-1}b$ 。
設 $C$ 為以原點為圓心的任意圓，則 $C$ 與等角螺線的相交的角永遠相等，而此值為 $\tan ^{-1}b$ ，名為「傾斜度」
等角螺線是自我相似的；這即是說，等角螺線經放大後可與原圖完全相同。
等角螺線的漸屈線和垂足曲線都是等角螺線。
從原點到等角螺線的任意點上的長度有限，但由那點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由托里拆利發現的。

歷史[編輯]

等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·白努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻師誤將阿基米德螺線（等速螺線）刻了上去。