除子

除子是代數幾何中的一個重要概念。在黎曼面$X$上，它可以簡單的定義為$X$上的點的(整係數)形式和，$D=\sum _{}^{}n_{p}p$。一般地，對於代數閉域上的非奇異代數簇，它可以定義為余維為一的子簇的(整係數)形式和，也可以定義為層$K_{X}^{*}/O_{X}^{*}$的一個整體截面。在滿足一定條件的（可以是奇異的）代數簇上，這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。

黎曼面上的除子

在黎曼面$X$上，它可以簡單的定義為$X$上的點的(整係數)形式和，$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，其中$p$是$X$上的點。型如$p$的除子被稱為素除子。一般的除子都是素除子的線性組合。$X$上的全部除子構成一個交換群，記作${\text{Div}}(X)$。

對於$X$上的非零亞純函數$f$，我們可以定義$f$的除子

${\text{div}}(f)=\sum _{p}^{}v_{p}(f)p$，

其中$v_{p}(f)$是$f$在$p$點零點的階（非零點的階為零，極點的階按負值計）。型如${\text{div}}f$的除子叫做主除子。主除子構成的子群記作${\text{Prin(X)}}$。除子類群定義作${\text{Cl}}(X)={\text{Div}}(X)/{\text{Prin(X)}}$。對於緊黎曼面，這是一個有限生成的交換群，它是緊黎曼面$X$的一個重要不變量。

從層論的觀點看，除子是一個局部的概念，對於$X$上任意的除子$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，和$X$的開集$U$，可以定義$D$在$U$上的限制$D|_{U}=\sum _{p\in U}^{}n_{p}p$。函子$U\mapsto {\text{Div}}(U)$是$X$上的層。

給定$X$上任何一個除子$D$，局部上$D$都可以被寫作一個函數對應的主除子。精確地說，一定存在$X$的一組開覆蓋{$U_{i}$}以及每個$U_{i}$上的函數$f_{i}$，使得$D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})$。一般說來，在$U_{i}$和$U_{j}$的交集上，$f_{i}$和$f_{j}$的限制未必相等，但易見在$U_{ij}$上，存在一個處處非零的全純函數$h$，使得$f_{i}h=f_{j}$。另外，$f_{i}$的選取不是唯一的，因為我們總可以用一個處處非零的全純函數$h$來修正它。反過來，任意一組這樣的數據$\{(U_{i},f_{i})\}$，都給出了$X$上的一個除子。

以上論證表明，黎曼面上的任意一個除子$D$，都唯一地對應於層$K_{X}^{*}/O_{X}^{*}$的一個整體截面。這是Cartier對於除子的觀點。

從Cartier的觀點出發，不難構造除子$D$所對應的可逆層${\mathcal {O}}_{X}(D)$：取$X$的一組開覆蓋{$U_{i}$}，以及每個$U_{i}$上的函數$f_{i}$，使得$D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})$。取$U_{i}$上的平凡層${\mathcal {O}}_{U_{i}}$，在交集$U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$上，如前所述${\dfrac {f_{j}}{f_{i}}}$是$U_{ij}$上的一個可逆函數，從而它定義了$U_{ij}$上平凡層的一個自同構。把這一同構視作粘合映射${\mathcal {O}}_{U_{i}}|_{U_{ij}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{j}}|_{U_{ij}}$，不難驗證這一族粘合映射滿足cocycle條件，從而他們給出了$X$上的一個可逆層。

反過來，對於黎曼面，每個可逆層都來自於一個除子。事實上，若${\mathcal {L}}$是可逆層，令$D$為任意一個亞純截面的除子，則${\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$。

易見主除子對應的可逆層同構於平凡層。兩個除子之和對應的可逆層是原來兩個除子對應之可逆層的張量積。若兩個除子之差為一主除子，則他們定義的線叢是同構的。

從線叢的觀點看，若兩個除子之差為一主除子，我們可以把它們視作等價。上面定義的映射$[D]\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)$給出了它與${\text{Pic}}(X)$的一個同構。這裏${\text{Pic}}(X)$是可逆層的同構類在張量積下構成的交換群。

任意一個除子$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，我們可以定義$D$的次數${\text{deg}}D=\sum _{}^{}n_{p}$。根據定義，這一定是一個有限和。對於緊黎曼面，主除子的次數總為零。由此可見，除子的次數隻依賴於它在Picard群中的像。

Weil除子

若 X 是一不可約（irreducible），既約（reduced）的局部諾特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韋伊除子（prime Weil divisor）是指一個余維數為一的不可約且既約的子概形。X 上的一個韋伊除子是素韋伊除子的有限形式和。

Cartier除子

假設 X 為一不可約且既約的諾特概形。則 X 上的非零有理函數的芽關於乘法構成了一個阿貝爾群層，記為 ${\mathcal {M}}_{X}^{\ast }$。 它是一個常數層，且包含所有非零正則函數的芽層 ${\mathcal {O}}_{X}^{\ast }$ 為子層。按定義，X 上的一個卡蒂亞除子（Cartier divisor）為商層 ${\mathcal {M}}_{X}^{\ast }/{\mathcal {O}}_{X}^{\ast }$ 的一個整體截面。