陪集

數學上，若G為群，H為其子群，而g為G中元素，則

gH = {gh : h為H中元素 }為H在G中的左陪集，而

Hg = {hg : h為H中元素 }為H在G中的右陪集。

僅當H為正規子群時，左右陪集相同，這也是子群正規性的一個定義。

陪集指某個G中子群的左或右陪集。因為Hg = g ( g⁻¹Hg )，（H的）右陪集Hg和（共軛子群 g⁻¹Hg 的）左陪集g ( g⁻¹Hg )是相等的。因此不規定所使用的子群而討論一個陪集是左陪集或右陪集是沒有意義的。

對於交換群或者記為加法形式的群，陪集可以分別用g+H和H+g表示。

範例[編輯]

加法循環群 Z₄ = {0, 1, 2, 3} = G，有子群H = {0, 2}（同構於Z₂)。H在G中的左陪集為

0 + H = {0, 2} = H

1 + H = {1, 3}

2 + H = {2, 0} = H

3 + H = {3, 1}.

因此存在兩種不同的陪集H本身和1 + H = 3 + H。注意每個G中元素或者在H中，或者在1 + H中，也即，H ∪ (1 + H ) = G，所以H在G中不同的陪集構成G的一個劃分。因為Z₄是交換群，右陪集和左陪集相同。

另一個陪集的例子來自線性空間中。線性空間的向量在向量加法下組成一個阿貝爾群。可以證明原來的線性空間的子空間是這個群的子群。對於給定的線性空間 V，子空間 W 和 V 中的一個固定向量 a，集合

\{x\in V\colon x=a+n,n\in W\}

被稱為「仿射子空間」。它們都是 W 的陪集。對於歐幾里得空間，仿射子空間代表與給定的過原點的直線或平面平行的直線或平面。

性質[編輯]

gH = H 當且僅當 g 是 H 中的元素。

一個子群 H 的兩個左（右）陪集要麼相同，要麼不交——即左（右）陪集的集合構成了群 G 的一個劃分：群中的每個元素屬於且僅屬於一個左（右）陪集。特別地，單位元素只在一個陪集中，即是 H 自己。因此 H 也是所有左（右）陪集中唯一的子群。這個劃分稱為 G 對 H 的左（右）陪集分解。

如果定義 G 中的等價關係為：x ~_H y （x 等價於 y ）當且僅當x^-1y ∈ H，那麼 H 在 G 中的左陪集正是所有不同的等價類。類似的結論對右陪集也成立（當 $xy^{-1}\in H$ ）。

一個陪集的代表元是建立在上述等價關係上的概念。陪集中的每個元素都可以作為該陪集的代表元。

H的所有左（右）陪集的階都是一樣的。H 在 G 中的左陪集個數和右陪集個數也是一樣的，稱為 H 在 G 中的指數。記作 $[G:H]$ 。由陪集的性質很容易得到拉格朗日定理，其說明在 G 為有限群時：

|G | = [G : H ] · |H |。

陪集與正規子群[編輯]

如果 H 不是 G 的正規子群，那麼它的左陪集和右陪集不相等：存在 G 中元素 a 使得不存在符合aH = Hb的元素 b，或者說 H 的左陪集構成的劃分（G 對 H 的左陪集分解）不同於 H 的右陪集構成的劃分（G 對 H 的右陪集分解）。

另一方面，子群 H 為正規子群當且僅當對 G 中所有元素 g，gH = Hg。這時子群 H 所有的陪集構成一個群，稱為G 對 H 的商群，記作G /H。其元素間的運算 ∗ 定義為(aH )∗(bH ) = abH。這個定義自洽當且僅當 H 為正規子群。

有限指數[編輯]

無限群G可能有具有有限指數的子群H（例如，整數群中的偶數）。可以證明，這樣的子群總是包含一個具有有限指數的（G的）正規子群N。事實上，如果H具有指數n，則N的指數是n!的因子。這一性質可以通過具體的例子來體現：考慮G通過乘法在H的左陪集上的置換作用（或者，在右陪集上的作用也是同樣的例子）

\pi \ :G\times S_{H}\to S_{H}

.\ \ \ (\ g\ ,\ aH)\longmapsto gaH

其中 $S_{H}$ 是所有陪集的集合。對 G 中任意的 g， $\pi _{g}\ :aH\mapsto gaH$ 都是一個置換。再考慮相應的置換表示： $\Pi \ :g\mapsto \pi _{g}$ ，這個置換表示的核給出了G的一個正規子群N，而它的象是G的一個商群：一個在n個元素上的對稱群的子群。

n = 2時，上述性質表明指數為2的子群總是一個正規子群，因為 2!=2。

參看[編輯]

參考來源[編輯]

胡冠章，《應用近世代數》，第2章，清華大學出版社。