黎曼-斯蒂爾傑斯積分

維基百科,自由的百科全書
跳至導覽 跳至搜尋

黎曼-斯蒂爾傑斯積分(英語:Riemann-Stieltjes integral)是一種積分,它是黎曼積分的一種推廣。

黎曼-斯蒂爾傑斯積分有數種定義方式,但不是每種定義方式都是彼此等價的。

定義[編輯]

和黎曼積分一樣,黎曼-斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。

區間的分割[編輯]

一個閉區間的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列。每個閉區間叫做一個子區間。定義 為這些子區間長度的最大值:,其中

再定義取樣分割。一個閉區間的一個取樣分割是指在進行分割後,於每一個子區間中取出一點 的定義同上。

精細化分割:設以及構成了閉區間的一個取樣分割,是另一個分割。如果對於任意,都存在使得,並存在使得,那麼就把分割:稱作分割的一個精細化分割。簡單來說,就是說分割是在分割的基礎上添加一些分點和標記。(即是說「設是閉區間的一個分割,若分割是分割的一個精細化分割,則,也就是說,分割是分割的子集」)

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。

黎曼-斯蒂爾傑斯和[編輯]

對一個在閉區間有定義的實值函數關於取樣分割黎曼-斯蒂爾傑斯和定義為以下和式:

和式中的表示,故

黎曼-斯蒂爾傑斯積分[編輯]

當注意的是。這兩個定義在黎曼-斯蒂爾傑斯積分的情況下,並不完全等價,以第一種定義可推出其存在的積分,必能以第二種定義推出其存在,但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義[編輯]

是函數在閉區間上對函數的黎曼-斯蒂爾傑斯積分,若且唯若對於任意的,都存在,使得對於任意的取樣分割,只要它的子區間長度最大值 ,就有:

第二種定義[編輯]

是函數在閉區間上對函數的黎曼-斯蒂爾傑斯積分,若且唯若對於任意的,都存在一個取樣分割,使得對於任何比其「精細」的分割,都有:

若一個函數在閉區間上對函數的黎曼-斯蒂爾傑斯積分存在,且值為,則可寫作

黎曼積分間的關聯[編輯]

若g(x) = x時,在閉區間上對函數的黎曼-斯蒂爾傑斯積分即為在閉區間上的黎曼積分,故從黎曼-斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。

可微且其對微分後的函數在閉區間連續,則在閉區間上對函數的黎曼-斯蒂爾傑斯積分與黎曼積分相等

參考文獻[編輯]

  • Mathematical Analysis seond edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

參見[編輯]