Sinc函數

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x = −6π 到 6π 區間顯示在同樣尺度上的歸一化 sinc(x)(藍色)與非歸一化 sinc 函數(紅色)

sinc函數,用 表示,有兩個定義,有時區分為歸一化sinc函數和非歸一化的sinc函數。它們都是正弦函數單調遞減函數 1/x的乘積:

  1. 數碼訊號處理通信理論中,歸一化sinc函數通常定義為
  2. 數學領域,歷史上非歸一化sinc函數 (for sinus cardinalis)定義為

在這兩種情況下,函數在 0 點的奇異點有時顯式地定義為 1,sinc 函數處處可解析。

非歸一化sinc函數等同於歸一化sinc函數,只是它的變量中沒有放大係數 π 。

屬性[編輯]

Re Sinc complex plot
Im Sinc complex plot
Abs Sinc complex plot

歸一化 sinc 函數的特性使得它在插值與帶限函數中得到理想應用:

  • 對於 整數),;也就是說,它是一個插值函數
  • 函數 函數空間 形成一個帶限函數的正交基,它的最大角頻率是 ,也就是說最大的循環頻率是

這兩個 sinc 函數的其它特性包括:

  • 非歸一化 sinc 函數 ;對應於它與餘弦函數的交點。也就是說,如果 的導數是 0 ,即在 有極值,那麼
  • 非歸一化 sinc 是第一類零階球貝索函數。歸一化 sinc 是
  • 非歸一化 sinc 的過零點是 的非零倍數;歸一化 sinc 函數    的過零點出現在非零整數。
  • 歸一化 sinc 函數    的對於普通頻率的連續傅里葉變換是  
,
其中矩形函數在 –1/2 到 1/2 之間值為 1,在其它區域值為 0。
  • 積分
廣義積分。因為:

所以它不是勒貝格積分

其中 Γ函數

與狄拉克δ分佈的關係[編輯]

儘管不是分佈,歸一化 sinc 函數也可以作為 nascent δ函數(參見狄拉克δ函數)使用。

歸一化 sinc 函數通過下式與δ分佈 δ(x) 發生聯繫

由於等式左側並不收斂,所以這不是普通的 limit,而是說明對於任意的緊支撐平滑函數

在上面的表達式中,隨着 a 趨近於 0,sinc 函數每個單元長度上的振動次數趨近於無限,然而不管 a 是什麼值,這個表示通常在 ±1/(πx) 內振動。這與 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,這表明了將δ函數作為函數而不是分佈帶來的問題。在吉布斯現象(Gibbs phenomenon)中也有類似的狀況。

參考文獻[編輯]

外部連結[編輯]

參見[編輯]