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當n趨向於無限大時,n!的2的個數

2
克勞棣 (對話貢獻)

,其中n是2以上的整數,a是正整數,b是奇數,請問是否存在?若存在,其值是多少?為什麼?

附註:

5000!=24995*某個奇數
6000!=25993*某個奇數
7000!=26993*某個奇數
8000!=27994*某個奇數
9000!=28995*某個奇數
10000!=29995*某個奇數
WhitePhosphorus (對話貢獻)

存在,是1。

先考虑2的整数倍,再考虑4的整数倍,再考虑8的整数倍,以此类推,可以写成如下形式:

方便起见,记,即为最大的不超过的2的整数指数幂。于是容易看出的上下界:

其中,的上下界为:

的极限均为零,根据夹逼定理的极限是零。而的极限是1,所以的上下界极限均为1,再用一次夹逼定理即知其极限存在且为1。