單位根

複平面上的三次單位根

數學上，$\,n\,$次單位根是$\,n\,$次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正多邊形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定義

$z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )$

這方程的複數根 $z\,$為$n\,$次單位根。

單位的 $n\,$次根有 $n\,$個：

$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)$。

本原根

單位的 $n\,$次根以乘法構成$n$階循環群。它的生成元是 $n\,$次本原單位根。$n\,$次本原單位根是$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}$，其中$k\,$和$n\,$互質。$n\,$次本原單位根數目為歐拉函數$\varphi (n)$。 全體i次單位根對普通乘法作成群，即i次單位根群。所有全體i次單位根群在普通乘法下也可作成群，且這是一個無限交換群，這個無限交換群里的每個元素的階都有限。

例子

一次單位根有一個: $1\,$。

二次單位根有兩個: $1\,$和$-1\,$，只有$-1\,$是本原根。

三次單位根是

$\left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},$

其中${i}$是虛數單位；除$1\,$外都是本原根。

四次單位根是

$\left\{1,i,-1,-i\right\},$

其中$i$和$-i$是本原根。

和式

當$n\,$不小於$2\,$時，$n\,$次單位根總和為$0\,$。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi {n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0$。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與系數的韋達定理，由分圓方程的$x^{n-1}\,$項系數為零得出。