刘维尔定理 (复分析)

  提示：此条目页的主题不是刘维尔定理 (哈密顿力学)或刘维尔定理 (微分代数)。

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域$\mathbb {C}$上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。后者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介

整函数是指从复数域$\mathbb {C}$射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$在某点$z_{0}$全纯，指在点$z_{0}$以及其邻域上有定义，并且以下极限：

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$，如果存在一个正数$M$，使得对于所有的复数$z$，$f(z)$的模长都小于等于$M$：

$z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,$

则该函数必定是常数函数。

证明

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$，考虑它关于$z_{0}=0$的解析展开：

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

其中的系数$a_{k}$可以根据柯西积分公式求得：

$a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta$

其中$C_{r}=\{z:\;|z|=r\}$是以0为圆心，半径为$r>0$的圆。依照函数$f$有界的条件，可以估计系数$a_{k}$模长的上界：

$|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},$

在以上的估计中，曲线积分为$C_{r}$，其中半径$r$的选择是任意的。当$r$趋于无穷大时，${\frac {M}{r^{k}}}$趋于0. 因此，让$r$趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。这说明，

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}$

即是说$f$是常数函数。定理得证。

应用与推论

代数基本定理

主条目：代数基本定理 § 证明二

整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数$f$总比另一个整函数$g$小：$|f|\leqslant |g|$，那么这两个整函数成比例关系：$\forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)$，其中$\kappa$是比例常数。

考虑函数$h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}$

$|f|\leqslant |g|$说明，函数$h$的模长总小于等于1。另一方面，由于$|f|\leqslant |g|$，所以${\frac {f(z)}{g(z)}}$的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数$h$。所以$h$作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明$f$和$g$成比例关系。

次线性整函数

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数$f$满足：

$\forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.$

其中$M$是一个常数系数。考虑$f$的导函数。根据柯西积分公式，

$|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}$

其中$C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}$是以$z$为圆心，半径为$r$的圆；

$I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t$

取$r=|z|$，则$\left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.$ 所以$I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi$，因此

$|f'(z)|\leqslant 2M.$

因此依据刘维尔定理，$f'$是常数函数。另一方面，$|f(0)|\leqslant M|0|$，所以$f(0)=0.$ 综上可知，次线性整函数$f$是线性函数。

皮卡小定理

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Liouville’s Boundedness Theorem. MathWorld. 
• 刘维尔定理的教程