利普希茨连续

在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比一致连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。

利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

定义

对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

对于在实数集的子集的函数$f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ，若存在常数$K$，使得$|f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D$，则称$f$ 符合利普希茨条件，对于$f$ 最小的常数$K$ 称为 $f$ 的利普希茨常数。

若$K<1$，$f$ 称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：

给定两个度量空间$(M,d_{M}),(N,d_{N})$，$U\subseteq M$。若对于函数$f:U\to N$，存在常数$K$ 使得

$d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U$

则说它符合利普希茨条件。

若存在$K\geq 1$使得

${\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U$

则称$f$为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

主条目：柯西-利普希茨定理

若已知$y(t)$有界，$f$符合利普希茨条件，则微分方程初值问题$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}$刚好有一个解。

在应用上，$t$通常属于一有界闭区间（如$[0,2\pi ]$）。于是$y(t)$必有界，故$y$有唯一解。

例子

• $f:[-3,7]\to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}$符合利普希茨条件，$K=4$。
• $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}$不符合利普希茨条件，当$x\to \infty ,\quad f'(x)\to \infty$。
• 定义在所有实数值的$f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$符合利普希茨条件，$K=1$。
• $f(x)=|x|$符合利普希茨条件，$K=1$。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
• $f:[0,1]\to [0,1],\quad f(x)={\sqrt {x}}$不符合利普希茨条件，$x\to 0,\quad f'(x)\to \infty$。不过，它符合赫尔德条件。
• 当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，$f$符合利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有$C^{1}$函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。

性质

• 符合利普希茨条件的函数连续，实际上一致连续。
• 双李普希茨(bi-Lipschitz)函数是单射。
• Rademacher定理：若$A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$且$A$为开集，$f:A''\to \mathbb {R} ^{n}$符利普希茨条件，则$f$几乎处处可微。
• Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间$H_{1},H_{2}$，$U\in H_{1}$，$f:U\to H_{1}$符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的$F:H_{1}\to H_{2}$，使得$F$的利普希茨常数和$f$的相同，且$F(x)=f(x)\quad \forall x\in U$。