单位元

单位元（unit element^[1]）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元被使用在群和其他相关概念之中。

设 $(S,*)$ 为一带有一二元运算 $*$ 的集合 $S$ （称之为原群），则 $S$ 内的一元素 $e$ 被称为左单位元若对所有在S内的a而言， $e*a=a$ ；且被称为右单位元若对所有在S内的a而言， $a*e=a$ 。而若 $e$ 同时为左单位元及右单位元，则称之为双边单位元，又简称为单位元。

对应于加法的单位元称之为加法单位元（通常被标为0），而对应于乘法的单位元则称之为乘法单位元（通常被标为1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上，比如环。

例子[编辑]

集合	运算	单位元
实数	+（加法）	0
实数	·（乘法）	1
实数	$a^{b}$ （乘方）	1（只为右单位元）
复数	+（加法）	0
复数	·（乘法）	1
矩阵	+（加法）	零矩阵
方阵	·（乘法）	单位矩阵
所有从集合M映射至其自身的函数	$\circ$ （函数复合）	单位函数
所有从集合M映射至其自身的函数	$*$ （卷积）	$\delta$ （狄拉克δ函数）
字串	串接	空字元串
扩展的实轴	最大值	$-\infty$
扩展的实轴	最小值	$\infty$
集合M的子集	$\cap$ （交集）	M
集合	$\cup$ （并集）	$\{\}$ （空集）
布尔逻辑	$\land$ （逻辑与）	⊤（真值）
布尔逻辑	$\lor$ （逻辑或）	⊥（假值）
闭二维流形	#（连通和）	$S^{2}$
只两个元素 $\{e,f\}$	* 定义为 $ee=fe=e$ 且 $ff=ef=f$	$e$ 和 $f$ 都是左单位元，但不存在右单位元和双边单位元

如最后一个例子所示，有若干个左单位元是可能的，且事实上，每一个元素都可以是左单位元。同样地，右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元，则它们会相同且只存在单一个双边单位元。要证明这个，设 $I$ 为左单位元且 $r$ 为右单位元，则 $I=I*r=r$ 。特别地是，不存在两个以上的单位元。若有两个单位元 $e$ 和 $f$ 的话，则 $e*f$ 必同时等于 $e$ 和 $f$ 。

一个代数没有单位元也是有可能的。最一般的例子为向量的内积和外积。前者缺乏单位元的原因在于相乘的两个元素都会是向量，但乘积却会是个标量。而外积缺乏单位元的原因则在于任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交－因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。

参考[编辑]

^ 存档副本. [2023-07-19]. （原始内容存档于2023-07-19）.

另见[编辑]

[1] 存档副本. [2023-07-19]. （原始内容存档于2023-07-19）.

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