极性集

在数学中，极性集是位势论里的一个重要概念，地位有比零测度集之于测度论，极性集合在位势论中也代表一类特别“小”的集合，通常可以忽略不计。

定义

$\mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)$里的极性集可以如下定义：$E$是极性集当且仅当存在非常数的次调和函数$u$，使得

$E\subset \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)=-\infty \}$

在$\mathbb {R} ^{2}(\cong \mathbb {C} )$的情形，可以用容度定义极性：集合$E$被称作极性的（polar），当且仅当它的容度为零。

若将定义中的次调和函数改为多重次调和函数，得到的集合称作多重极性集。

性质

• $\mathbb {R} ^{n}$中的单点集合是极性的
• 可数个极性集的联集也是极性的
• 极性集在$\mathbb {R} ^{n}$中的勒贝格测度为零
• 极性集必然是完全非连通的

最后两点并非充分条件，例如康托尔集合测度为零而且完全非连通，但它不是极性的。

延伸阅读

• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.
• L. L. Helms (1975). Introduction to potential theory. R. E. Krieger ISBN 0-88275-224-3.