集合建构式符号

在数学里，集合建构式符号（set-builder notation）是常用于描述集合的一种记号，这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化（set abstraction）或set comprehension。一般写为 $\{x:P(x)\}$ 或 $\{x\in S:P(x)\}$ ，分别只在于论域的不同，前者的元素恰好是那些符合谓词P的集合，而后者的元素除了符合谓词P，还得是S的元素。

范例：三角形数的集合[编辑]

以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则，它是正整数的和。

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素：

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

\qquad \qquad \quad \vdots

1+2+3+\ldots +n=S

其中，n是正整数，S是左式的结果。

于是我们归纳出一个规则（即公式）：

1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}

这个规则可代表集合T中的元素。于是，集合T可以简写为：

T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}

在上面的简单范例中，我们将一个繁复的集合表示法，透过一个简单的规则，重新以简单的符号来表示这个集合。

集合建构式与一阶逻辑[编辑]

当一个集合的元素是用某种公式或条件（亦即，一个函数）所产生，这时候就可以用集合建构式来表示，例如：

偶数集合 = $\{x:x$ 是2的倍数 $\}$
负数集合 = $\{x:x$ 是小于0的数 $\}$

就哲学上来说，这些元素具有某种共同的性质（2的倍数，或是小于0）；在一阶逻辑中，这个性质可以使用谓词来表示，而该集合的一般格式为：

A=\{x:P(x)\}

以偶数集合为例，其谓词 $P=$ “是2的倍数”。 $P(x)=$ “ $x$ 是2的倍数”，被称为一个命题函数。

集合 $A$ 的元素必定是另一个集合 $B$ 的元素 $x$ ，使得 $P(x)$ 为真（亦即， $A$ 是 $B$ 的一个子集），一般表述为：

A=\{x:x\in B,P(x)\}

或是

A=\{x\in B:P(x)\}

在这里， $P$ 是谓词， $x$ 是主词（ $B$ 集合中的一个元素）， $P(x)$ 是一个传回真假值的命题函数：

P\colon B\rightarrow \{true,false\}

所以，在数学中，谓词被视为一种布林值函数。

在实例中，如果没有指定 $B$ 集合，就表示 $B$ 集合是由谓词 $P$ 所给出。

集合建构式例句[编辑]

正整数集合可用下列建构式表示：
- $\{x:x$ 是大于0的整数 $\}$
- $\{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}$
偶数集合可用下列建构式表示：
- $\{x:x$ 是2的倍数 $\}$
- $\{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}$
负数集合可用下列建构式表示：
- $\{x~|~x$ 是小于0的数 $\}$
- $\{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}$
- $\{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}$
平方数集合可用下列建构式表示：
- $\{x~|~x$ 是某个整数的平方 $\}$
- $\{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}$
- $\{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}$
- $\{x\in \mathbb {N} :\exists k\in \mathbb {Z}$ s.t. $k^{2}=x\}$