e (数学常数)

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NumberSetinC.svg

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圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

是使在点上 (蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1之的唯一值。对比一下,函数(虚点曲线)和(虚线曲线)和斜率为1、y-截距为1的直线(红色)并不相切。

,作为数学常数,是自然对数函数底数。有时被称为欧拉数Euler's number),以瑞士数学家欧拉命名;还有个较少见的名字纳皮尔常数,用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数,数值约是(小数点后20位,OEISA001113):

历史[编辑]

第一次提到常数,是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利,他尝试计算下式的值:

已知的第一次用到常数,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示。1727年欧拉开始用来表示这常数;而第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后年日有研究者用字母c表示,但较常用,终于成为标准。

e表示的确实原因不明,但可能因为是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称abcd 有其他经常用途,而是第一个可用字母。

定义[编辑]

就像圆周率虚数单位i是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义,下面列出一部分。

1. 定义为下列极限值:
2. 定义阶乘倒数无穷级数的和[1]
其中代表阶乘
3. 定义为唯一的正数使得
4. 定义为唯一的实数使得

这些定义可证明是等价的,请参见文章指数函数的特征描述英语Characterizations of the exponential function

性质[编辑]

的极大值在.

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要性,在于它是唯一的函数(零多项式函数除外)与自身导数相等(乘以常数,最一般的函数形式为为任意常数)。即:

泰勒级数

为复数时依然成立,因此根据的泰勒级数,得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式:

的特例是欧拉恒等式

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

棣莫弗公式

  • 时函数有最大值。
  • 的无穷连分数展开式有个有趣的模式,可以表示如下(OEISA003417):

就像以下的展开式:

无理数证明[编辑]

反证法[编辑]

证明是无理数可以用反证法。假设有理数,则可以表示成 ,其中为正整数。以的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字

以下将推导出是小于1的正整数;由于不存在这样的正整数,得出矛盾,所以得证是无理数。

  • 是整数,因为
  • 是小于1的正数,因为

但是0与1之间(不含0与1)不存在有整数,故原先假设矛盾,得出为无理数。

二项式定理[编辑]

为存在的数值,所以用二项式定理可证出:

已知位数[编辑]

e的已知位数[2][3]
日期 位数 计算者
1748年 18 李昂哈德·欧拉
1853年 137 William Shanks
1871年 205 William Shanks
1884年 346 J. M. Boorman
1946年 808 ?
1949年 2,010 约翰·冯·诺伊曼
1961年 100,265 Daniel Shanks & 约翰·威廉·伦奇
1978年 116,000 史蒂芬·盖瑞·沃兹尼克
1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel
1997年8月 20,000,000 Birger Seifert
1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel
1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon
2000年7月10日 2,147,483,648 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日 6,442,450,944 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日 12,884,901,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日 25,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日 50,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日 100,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日 200,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日 500,000,000,000 余智恒(Alexander J. Yee)
2010年7月5日 1,000,000,000,000 近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee)
2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale

高精度计算e程序(C++)[编辑]

#include<iostream>
using namespace std;
int main(void)
{
	long N,a,b,i,j=0,k=0;
	cout<<"请输入e位数(不超过100000)\n",cin>>N,N+=5;
	long *e=new long[N],*c=new long[N];
	while(++j<N)e[j]=c[j]=0;
	for(*c=i=1;k<N;i++)
	{
		while(!c[k])k++;
		for(b=0,j=k-1;++j<N;b=a%i)e[j]+=(c[j]=(a=b*10+c[j])/i);
	}
	for(;--j;e[j]%=10)e[j-1]+=e[j]/10;
	for(cout<<"2.";++j<N-5;)cout<<e[j];
	delete[]e,delete[]c;
	return 0;
}

谐取[编辑]

  • Google2004年的首次公开募股,集资额不是通常的整头数,而是$2,718,281,828,这当然是取最接近整数的十亿美元。(顺便一提,Google2005年的一次公开募股中,集资额是$14,159,265,与圆周率有关)
  • Google也是首先在硅谷心脏地带,接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手,它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在的连续数字中第一个发现的十位质数.com)。解决了这问题(第一个中的十位质数是7427466391,出奇地到很后才出现,由第100个数字开始),进入网站后还有个更难的题目要解决,最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束,上述网站都已关闭。
  • 著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的版本号码趋向(就是说版本号码是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语)  142.D
  2. ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  3. ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast